第五章 大数定律与中心极限定理x创新.ppt

第五章 大数定律与中心极限定理 * 第5.1节 大数定律 人们在长期实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说，随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定于一个确定的常数。另外，人们还从实践中认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性。大数定律以数学形式表达并证明了，在一定条件下，大量重复出现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性。 一、 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式，它的一个等价形式是 由切贝绍夫不等式，有 二、大数定律 定义 设随机变量序列{Xn}，如果存在一个常数a，使得对任意的 ε0，有 则称序列 依概率收敛于a,记作 定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列{Xn}相互独立，且均存在数学期望E(Xn)= n，方差D(Xn)=σ2n k(n=1,2,...), 其中常数k与n 无关，则对任意的ε0 ，有 定理（辛钦大数定律） 设{Xn}为相互独立的随机变量序列，且有相同的期望与方差： E(Xn)= ，方差D(Xn)=σ2(n=1,2,...), ，则对任意的ε0 ，有 这一定理使我们关于算术平均值的法则有了理论依据。 假设要测量某一物理量 ，在不变的条件下重复测量n次，得到的观测值 是不完全相同的，这些数据可以看作是有相同期望和方差的n个随机变量 的试验数据。 定理（贝努利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为X，则对任意的ε0 ，事件A发生的频率 ，有 由上式可知，当n充分大时，取 作为 的近似值，产生的误差很小，即算术平均依概率收敛于期望值（被观察的真值） 这个定律说明：当实验在不变的条件下，重复进行很多次时，随机事件的频率在它的概率附近摆动。 如果事件A的概率很小，则事件A出现的频率也是很小的，即事件A很少发生。例如，设P（A）=0.001，则在1000次试验中事件A只能发生一次。 在实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。这个原理叫作小概率事件的实际不可能性原理（简称小概率原理） 第5.2节 中心极限定理 本节将介绍概率论中最重要的极限定理—中心极限定理，在某些条件下，即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，当随机变量个数无限增加时，它们之和的分布也趋于正态分布。 定理 设X~N(μ,σ2), 则Y~N(0,1). 所以，若X~N(μ,σ2), 则 P(Xa)= P(Xa)= P(aXb)= X~N(μ,σ2) 定义：一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0p1),独立重复 进行n次,这n次中实验成功的次数X服从的分布为二项分布: X～B(n,p) 复习 中心极限定理 定理（列维—林德贝格定理(i.i.d下中心极限定理)） 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ20, 则当n充分大时, 所以 注意 (1)一般地,只要n比较大,就可应用以上定理; (2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法. 例3.4.1.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望 值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率? 解: 设一箱味精净重为X,箱中第i袋味精净重为 Xi,(i=1,2,…,200) 则 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100, 且 由独立同分布的中心极限定理得: X近似服从正态分布,且 EX=200EXi=20000, DX=200DXi=20000, 所求为P(X20500)= 1-P(X≤20500) =0.0002 故 一箱味精净重大于20500的概率为0.0002. 即，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 亦即　若随机变量Ｘ～Ｂ（n，p），则对任意实数x有 Ｘ～Ｎ（np，npq） 注意(1)以上定理称为棣莫佛---拉普拉斯积分定理.它表示 当n重 Bernoulli实验次数很大时(n≥100,p接近于0.5),二项分布可 用正态分布近似逼近,期望为np,方差为npq . (2)P(X=m)=P(m