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《线性代数》总复习 2011.10 * 线性代数总复习 上页 下页 铃 结束 返回 首页 第一章 矩阵 m×n个数构成的m行n列的数表 加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (?A) = O, 数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB cij = ? aikbkj. k=1 s 矩阵乘法：AB=C，其中 C是m×n矩阵. (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB). 第一章 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 转置： A=(aij), AT=(aji) 方阵的行列式：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT. 设A = [aij]n?n为方阵, 元素aij的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵 为方阵A的伴随矩阵. 第一章 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 注意：A可逆?detA≠0 (A?1)?1 = A. (AT)?1 = (A?1)T. (kA)?1 = k?1A?1. (AB)?1 = B?1A?1. 运算性质 逆阵的求法: 定义法 用伴随矩阵 用初等行变换(A?E) → (E?A-1) 逆阵的证法: ?A?≠0，R(A)=n, 反证法 第一章 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 单位矩阵 对角矩阵 初等矩阵 对称矩阵 定义：非0子式的最高阶数 求法：初等变换或定义法 性质：经初等变换矩阵的秩不变 几种常用的初等变换及对应的初等矩阵 行阶梯矩阵、行最简型、标准型 第一章 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 其它几个重要定理及结论： 矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B, 则称A与B等价.记为A ? B. （注意与相似、 合同区别） A与B等价?R(A)= R(B) 定理. 方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积. 推论1. 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。 推论2. m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶 可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B。 与等价有关的重要定理 定理. 对m?n矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左 边乘以相应的初等矩阵; 对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以 相应的初等矩阵. 第一章 矩阵 解矩阵方程的初等变换法 或者 齐次线性方程组有非零解的充分条件 化三角法 递推法 数学归纳法 降阶展开法 拆项法 … 第一章 矩阵 行列式 概念 性质 展开式 计算 应用 第二章 n维向量 第二章 n维向量 n维向量 运算 线性表示 线性相关性 k1?1+k2?2+…+kn?n= 0 ki均为0，则?1, ?2, …, ?n线性无关 只要有一个ki不为0，?1, ?2, …, ?n 线性相关 极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个最大线性无关组。 求法：非零子式法、初等变换法 极大无关组包含的向量的个数 极大无关组 向量组的秩 向量组与矩阵的关系 矩阵A = (?1, ?2, …, ?s) 列向量组: ?1, ?2, …, ?s 注：行向量的问题与列向量相同 矩阵A的秩R(A) 向量组的秩RT 最高阶非零子式 最大线性无关组 第二章 n维向量 线性无关 ? A ? E ? A = P1…Ps 线性相关 定义： 向量内积 对称性: [?, ?] = [?, ?]; (2) 线性性: [k1?1+k2?2,?]= k1[?1, ?]+k2[?2,?]; (3) [?, ?] ? 0; 且[?, ?] =