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高等数学 （专）-2—学习笔记十四 主 主 题题：： 《高等数学 （专）-2》学习笔记 主主 题题：： 内 内 容容：： 内内 容容：： 《高等数学《高等数学 （专（专））--22》》学习笔记学习笔记十四十四 《《高等数学高等数学 （（专专 ））--22》》学习笔记学习笔记十十四四 ————线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构、常系数线性微分方程、常系数线性微分方程 ————线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构、、常系数线性微分方程常系数线性微分方程 教学目的教学目的、要求、要求: : 教学目的教学目的、、要求要求:: 掌握掌握：：二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式， 掌握掌握：： 二阶常系数齐次线性微分方程的通解。 理解理解：：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 理解理解：： 了解了解：：二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根的概念。 了解了解：： 教学内容教学内容： ： 教学内容教学内容：： 基内容基内容：：二阶线性方程解的结构，常系数线性微分方程。 基内容基内容：： 重点重点：：二阶线性方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程。 重点重点：： 难点难点：：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 难点难点：： 基要求 1．掌握二阶线性方程解的结构。 2. 掌握齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情 况，通解的三种不同形式。 11.4 11.4 线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构 11.411.4 线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构 例 1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m 的物体，当物体 处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹簧力大小相等、方向相反，这个位置 就是物体的平衡位置。取x 轴沿铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。 如果使物体具有一个初始速度v0 ≠ 0 ，那物体便离开平衡位置，并在平衡 位置附近作上下振动，在振动过程中，物体的位置x 随时间t 变化，即x 是t 的函 数：x = x t 。要确定物体的振动规律，就要求出函数x = x t 。 ( ) ( ) 由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置弹性恢复力f （它不包括在平衡位置 时和重力mg 相平衡的那一部分弹性力）和物体离开平衡位置的位移x 成正比例： f = −cx 其中c 为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反。 另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质 （如空气/油等）的阻力的作用， 使得振动逐渐趋向停止。由实验知道，阻力R 的方向总与运动方向相反，当振动 不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为µ ，则有 dx R = −µ dt 根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得 高等数学 （专）-2—学习笔记十四 d 2 x dx m 2 = −cx − µ dt dt 移项，并记 2n = µ ，k 2