微机分上期末复习二.ppt

* 微积分（上）期末复习 一、微分中值定理 1．罗尔定理 2．拉格朗日中值定理 3．柯西中值定理 在 上连续, 在 内可导, 且 , 在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一 使 在 上连续, 在 内可导, ， 则至少存在一 使 则至少存在一 使 二、洛必达法则 ① 函数 与 都趋向于0(或 ); ② 与 都存在,且 ; ③ 存在(或为无穷大). 那么 设在 的某一趋向下,函数 与 满足: 其它型： 转化为 “ ”型或“ ” 型 基本型： “ ”型“ ” 型，运用洛比达法则求. 一、函数的极值与单调性 1．函数极值的定义 2．函数的驻点 3．函数的单调区间的判别 则 为 的驻点。 在 上，若 ，则单调增加； 若 ，则单调减少； 为极大值. ) ( ), ( ) ( ), , ( 0 0 0 。 x f x f x f x U x ￡ ? d 1．函数凹凸性定义 2．函数的拐点 3．函数凹凸性的判别 二、函数的凹凸性及拐点 凹弧与凸弧的分界点 。 上凹 ； 下凹。 若在某个区间内, 曲线弧位于其上任一点的切线上方, 则称曲线在该区间内是上凹的; 若曲线弧位于其上任一点的切线下方, 则称曲线在该区间内是下凹的. 1．第一充分条件 三、函数极值的充分条件 则 在 处取得极大值； 则 在 处取得极小值； （3）若 时， 的符号保持不变， 则 在 处没有极值； （1）若 时， 而 时， （2）若 时， 而 时， 2．第二充分条件 （2）当 时，函数 在 处取得极小值； （1）当 时，函数 在 处取得极大值； 设函数 在 处具有二阶导数且 ， ， 那么 一、不定积分的基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 (1)原函数的定义： (2)不定积分的定义： 设 为 一个原函数，则 在区间 上，若 则称 是 在 上原函数。 2．不定积分的性质 (1) 线性性质： (2) 微分与积分运算： 二、基本计算方法 1．直接积分法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。 2．第一类换元法（凑微分法）： 设 ，则 3．第二类换元法（变量置换法）： 第二类换元法： 三角代换 倒代换 简单无理函数代换 注意：式中 回代。 必须单调可导，对t作完积分后, 要用反函数 3、分部积分法 分部积分公式 选择u的有效方法:LIATE选择法 L----对数函数； I----反三角函数； A----代数函数； T----三角函数； E----指数函数； 哪个在前哪个选作u. 4、有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法 1. 2. 3. . 4. 5. . 一、填空题 1. 解 2. 解 3. . 解 4. 2 5. . 解 6. 7. 8. . 9. 10. . 6. 解 7. 8. . 9. 两边求导， 解 10. . 二、单项选择 1. 解 2. 选(A). C 奇函数 3. 解 选(D). 4. C 5. 6. 解 选