1-1高数同济六版一章答案.pdfVIP

一、 枟高等数学枠（第六版） 上册习题全解 第一章　 函数与极限 习题1－ 1 映射与函数 １畅 设 A ＝ （ － ∞ ，－ ５） ∪ （５ ，＋ ∞ ） ，B＝ ［ － １０ ，３） ，写出 A ∪ B，A ∩ B，A＼B及 A＼（A＼B）的表达式． 解　 A ∪ B ＝ （－ ∞ ，３） ∪ （５ ，＋ ∞ ） ， A ∩ B ＝ ［－ １０ ，－ ５） ， A＼B＝ （ － ∞ ，－ １０） ∪ （５ ，＋ ∞ ） ， A＼（A＼B） ＝ ［ － １０ ，－ ５） ． 注　 A＼（A＼B） ＝ A ∩ B． C C C ２畅 设 A 、B 是任意二个集合，证明对偶律：（ A ∩ B） ＝ A ∪ B ． 证　 x ∈ （ A ∩ B）C C C 骋 x 臭 A ∩ B骋 x 臭 A 或 x 臭 B骋 x ∈ A 或 x ∈ B 骋 x ∈ C C A ∪ B ． ３畅 设映射f ：X→ Y，A炒 X ，B炒 X ．证明 （１） f （A ∪ B） ＝ f （A） ∪ f （B） ； （２） f （A ∩ B） 炒 f （A） ∩ f （B） ． 证　 （１） y ∈ f （A ∪ B） 骋 愁 x ∈ A ∪ B，y＝ f （x） 骋 愁 x ∈ A 或x ∈ B，y＝ f （x） 骋 y ∈ f （A）或 y ∈ f （B） 骋 y ∈ f （A） ∪ f （B） ． （２） y ∈ f （A ∩ B） 痴 愁 x ∈ A ∩ B，y＝ f （x） 痴 y ∈ f （A ）且 y ∈ f （B） 痴 y ∈ f （A ） ∩ f （B） ． 注意：反之，由y ∈ f （A ） ∩ f （B） 痴 y ∈ f （A ）且 y ∈ f （B） 痴 愁 x ∈ A ，y ＝ f （x） ；愁 x′∈ B，y＝ f （x′） ．由于f 不一定是单射，未必有 x＝ x′．例如，函数f （x） ２ ＝ x ，x ∈ R．A ＝ （ － ∞ ，０］ ，B ＝ ［ － １ ，＋ ∞ ） ， A ∩ B ＝ ［ － １ ，０］ ，f （A ∩ B） ＝ ［０ ，１］ ，但 f （A） ∩ f （B） ＝ ［０ ，＋ ∞ ） ． ４畅 求下列函数的自然定义域： １ （１） y＝ ３ x＋ ２ ； （２） y＝ ２ ； １ － x １ ２ １ （３） y＝ － １ － x ； （４） y＝ ２ ； x ４ － x （５） y＝ sin x ； （６） y＝ tan （x＋ １） ； 3 １ （７） y＝ arcsin （x－ ３） ； （８） y＝ ３ － x＋ arctan ； x １ x （９） y＝ ln （x＋ １） ； （１０） y＝ e ． ２ ２ 解　 （１） ３ x＋ ２ ≥ ０ 痴 x≥ － ，即定义域为 － ，＋ ∞ ． ３ ３ （２） １ － x２ ≠ ０ 痴 x≠ ± １ ，即定义域为（ － ∞ ，－ １） ∪ （ － １ ，１） ∪ （１ ，＋ ∞ ） ． （３） x≠ ０ 且 １ － x２ ≥ ０ 痴 x≠ ０ 且｜x ｜ ≤ １ ，即定义域为［ － １ ，０） ∪ （０ ，１］ ． ２ （４） ４ － x ＞ ０ 痴 ｜ x ｜ ＜ ２ ，即定义域为（ － ２ ，２） ． （５） x≥ ０ ，即定义域为［０ ，＋ ∞ ） ． π １ （６） x＋１≠ kπ＋ （k∈ Z），即定义域为 x x ∈ R 且 x≠ k＋ π－１，k∈ Z ． ２ ２ （７） ｜x－ ３｜ ≤ １ 痴 ２ ≤ x≤ ４ ，即定义域为［２ ，４］ ． （８） ３ － x≥ ０ 且 x≠ ０ ，即定义域为（ － ∞ ，０） ∪ （０ ，３］ ． （９） x＋ １ ＞ ０ 痴 x＞ － １ ，即定义域为（ － １ ，＋ ∞ ） ． （１０） x≠ ０ ，即定义域为（ － ∞ ，０） ∪ （０ ，＋ ∞ ） ． 注　 本题是求函数的自然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个 简单函数的定义域，再求出这些定义域的交集，即得所求定义域．下列简单函数 及其定义域是经常用到的： Q（x） y＝ ，P（x） ≠ ０ ； P（x） ２ n y＝ x ，x≥ ０ ； a y＝ log x ，x＞ ０ ； １ y＝ tan x ，x≠ k＋ ２ π ，k∈ Z； y＝ cot x ，x≠ kπ ，k∈ Z； y＝ arcsin x ，｜ x ｜ ≤ １ ； y＝ arccos x ，｜ x ｜ ≤ １ ． ５畅 下列各题中，函数f （x）和 g（x）是否相同？ 为什么？ ２ （１） f （x） ＝ lg x ，g（x） ＝ ２lg x ； ２ （２） f （x） ＝ x ，g（x） ＝ x ； ３ ３