同济第六版高等数学课后答案(这份PDF文档只有一二三章和总习题三).pdf

习题1−1 1. 设A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出A∪B, A∩B, A\B 及A\(A\B)的表达 式. 解 A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞), A∩B=[−10, −5), A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞), A\(A\B)=[−10, −5). C C C 2. A B , : (A∩B) =A ∪B . 设 、 是任意两个集合 证明对偶律 证明 因为 C C C C C x∈(A∩B) ⇔x∉A∩B⇔ x∉A 或x∉B⇔ x∈A 或x∈B ⇔ x∈A ∪B , C C C 所以 (A∩B) =A ∪B . 3. 设映射f : X →Y, A⊂X, B⊂X . 证明 (1)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). 证明 因为 y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B, 使f(x)=y ⇔(因为x∈A 或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B) ⇔ y∈f(A)∪f(B), 所以 f(A∪B)=f(A)∪f(B). (2)因为 y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B, 使f(x)=y⇔(因为x∈A 且x∈B) y∈f(A)且y∈f(B)⇒ y∈ f(A)∩f(B), 所以 f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). . : → , : → , , , 4 设映射f X Y 若存在一个映射g Y X 使g�f = I f �g= I 其中I 、 X Y X I X Y , x∈X, I x=x; y∈Y, Y 分别是 、 上的恒等映射 即对于每一个 有 X 对于每一个 有 I y=y. : f , g f : g=f−1. Y 证明 是双射 且 是 的逆映射 y∈Y, x=g(y)∈X, f(x)=f[g(y)]=I y=y, Y 证明 因为对于任意的 有 且 y 即 中任意元 X , f X Y . 素都是 中某元素的像 所以 为 到 的满射 又因为对于任意的x ≠x , 必有f(x )≠f(x ), 否则若f(x )=f(x )⇒g[ f(x )]=g[f(x )] 1 2 1 2 1 2 1 2 ⇒ x =x . 1 2 f , , f . 因此 既是单射 又是满射 即 是双射 对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且满足f(x)=f[g(y)]=I y=y, y , g f