必威体育精装版南航信号与系统章离散时间系统的变换域分析.ppt

信号与系统 第八章 离散时间系统的变换域分析 南京航空航天大学 电子信息工程学院 信息与通信工程系 王旭东 xudong@nuaa.edu.cn §8.1 引言 要求得系统的响应就要求解系统方程，在连续系统中为微分方程，为避免解微分方程的麻烦我们用拉普拉斯变换将求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题。 在离散系统中我们有类似的方法。即Z变换，它也可以将求解差分方程的问题转化为求解代数方程的问题。 主要内容 Z变换及其性质 离散时间系统的Z变换分析 离散时间系统的系统函数和稳定性 Z变换与拉普拉斯变换的关系 §8.2 Z变换及其性质 一、Z变换的定义及其收敛区 我们知道离散信号可以由连续信号抽样得到： 上式就定义为序列f(k)的双边z变换，记为： 或用记号 f(k)←→F(z)表示它们是一对Z变换对。显然单边Z变换是一个单边的无穷级数 要级数收敛要求|Z|-1小于某一数值，或表示为|Z|R，R与具体的序列有关。 例如：f(k)=akε(k)求F(z)及其收敛区。 说明： 1、Z变换与连续系统中的拉普拉斯变换相对应，也有双边与单边之分。 2、Z变换与拉普拉斯变换是有联系的，它们之间的关系由 表明。 3、能量有限的序列，单边Z变换的收敛区为|z|0。 4、有始无终的单边序列，单边Z变换的收敛区总是在某一圆外。 5、在收敛区中不应包含极点。 二、常用序列的Z变换 1、单位函数δ(k) 3、单边指数序列f(k)=vkε(k) 三、Z变换的性质 1、线性性质 若：f1(k)←→F1(z) , f2(k)←→F2(z) 则：a1f1(k)+a2 f2(k)←→a1F2(z)+ a2 F2(z) a1，a2为常数。 2、移序性质 若：f(k)←→F(z) 证明： 5、卷积定理 若：f1(k)←→F1(z) , f2(k)←→F2(z) 则：f1(k)* f2(k)←→F1(z).F2(z) §8.3 反Z变换 由F(z)反过来求f(k)称反Z变换，记为 Z -1[F(z)]。 一、长除法 根据Z变换的定义F(z)为z的幂级数，因此我们只要设法将F(z)展开为z的幂级数，则其系数即为f(k)。 二、围线积分法 根据复变函数理论中的柯西(Cauchy)定理： 当k≥0时 被积函数在围线内只有一个一阶极点 a。 当k0时 被积函数在围线内有一个一阶极点 a，还有一个-k阶的极点0。 三、部分分式展开法 1、单根时 对于一对共轭复根也可将它保持整体处理，这时我们可以使用正弦序列和余弦序列的变换对。 §8.5 离散时间系统的Z变换分析法 与拉普拉斯变换一样Z变换是求解差分方程的工具。 一、直接求解 差分方程两边进行Z变换时，方程的左边用移位性质时计入了初始条件，而方程的右边没有计入激励的初始值。原因也在于此，方程的左边计入的是系统的初始储能与激励无关。如果方程的左边计入的是系统全响应的初值,则右边也应计入激励的初值。 解：显然初值 y(0) , y(1) 与激励有关，为全响应的初值。所以我们有两种解决方法： 一是对差分方程两边Z变换左边计入全响应的初值右边也计入激励的初值。 二是将全响应的初值换算成零输入的初始条件，对差分方程两边Z变换左边计入零输入的初始条件右边不计入激励的初值。 方法二： 将全响应的初值换算成零输入的初始条件，分别将k=-3,-2,-1代入差分方程 由(1)式可以看出y(-1) , y(-2) , y(-3) 与激励无关，即 y(-1)=yzi(-1) , y(-2)=yzi(-2) , y(-3)=yzi(-3)。所以(2)，(3)式可改写为： 解得：yzi(-1)=0 , yzi(-2)=0.5 于是令e(k)=0 由差分方程推出yzi(0)和yzi(1) 。 二、从信号分析的角度分析系统 还是将全响应分为零输入响应和零状态响应来求，y(k)=yzi(k)+yzs(k) 1、基于Z变换的方法。注意在求零输入响应时应代入系统的初始条件 2、基于系统函数H(z)的方法。 (1)、零状态响应yzs(k) ①、e(k)←→E(z) ②、定义离散系统的 系统函数 ③、Yzs(z)=E(z)?H(z) ④、yzs(k)=Z-1[Yzs(z)] (2)、系统函数H(z) 时域中零状态响应的求法为计算卷积 y(k)=e(k)*h(k) 由卷积定理 Y(z)=E(z)?H(z)。 所以 h(k)←→H(z) ②、由离散系统的方框图或信号流图求H(z)。 (3)