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抽象代数课程教什么?考什么? 微积分,线性代数有计算,抽象代数没有? 既然叫抽象, 就是没有例子? 有证明。太难,课时不够, 删去! 还剩什么？死记硬背！ 九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔 小学程度就可以背诵和考试! 谁是山寨版 ? 抽象代数一定要从公理开始? 公理是什么? 许多不同东西的共同点. 公理化方法: 描述性(非构造性)定义 样板: 几何(欧几里德) -- 代数(抽象代数) 群,环,域的公理内容: 1. 对加、减、乘、除的封闭性 2. 解释什么是加、减、乘、除 加法：向量空间前4条公理 = 交换群的运算 乘法：结合律(群的公理) 对加法的分配律(环的公理) Prof.zhang 教学法: 通过有招学无招?无招胜有招: 案例?公理?案例 案例1. 三阶幻方以一变多 旋转 轴对称 共有多少个？ 按2的位置分4组.每组2个.2×4=8 正多边形与正多面体 正三角形的对称群 三角形数谜一变多 2×3=6 S3 正方体的旋转群 3×8个顶点=24 4×6个面=24 公理化: 群,子群,陪集分解 以正方体旋转群G为例. G按6个面1,…,6分组, 第 i 组 Gi ={g|g1=i} g,a在同一组?? g1=a1 ??a-1g1=1 ??a-1g∈ G1??g∈aG1.? Gi= aG1. 由a 可逆得: h1≠h 2 ? ah1≠ah2 |Gi |=|G1|, i=1,…,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|. 推广: G 对除法封闭?总可计算a-1g “同组” 等价性=G1含1, 对求逆,乘法封闭 群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|. 案例2. 复数的几何与矩阵模型 i2 = -1 : 左转两番朝后方 平面向量v?(-1)v,后转(180o) 记v?iv为左转(90o).则i2 = -1. 域同构: 复数?平面线性变换?矩阵 i? 左转变换i ? a+bi? a1+bi ? 案例3. 平面旋转群 R 旋转a :v?(cosa)v+(sina)(iv) (cosa +isina)n = cosna +isinna (棣美弗公式) f: R?R, a ? eia = cosa +isina f(a+b) = f(a)f(b) : (群同态) Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZ≌R (群同构) 案例4. 单位根群 单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根. f(a)n =1?? na = 2kp ??a=2kp/n 1,w,w2,…,wn-1 , w = cos(2p/n) +isin(2p/n) n阶循环群 〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1} f:Z? 〈 w 〉, k? wk , f(k+r) = f(k)f(r) Ker f = nZ Zn=Z/nZ ≌ 〈 w 〉 案例5. xn -1 的因式分解 复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)…(x-wn-1) 有理数范围: 以x15 -1为例 1,w,w2,…,w14在乘法群中的阶d|15 同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x) F1(x)=x-1. F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x)) 分圆多项式 Fd(x) 有限域: 5最 PK 3最 1 抽象代数最后一课 2 最难 3 最不应当考 1 最有用: 信息安全大显身手 2 最有味: 抽象代数味道 3 最易懂: 小学生可以懂! 4 最先讲: 可在第一课第一分钟! 5 最应当考:首选第一题! 案例6.三阶幻方全推导 各行和= (1+…+9)/3=15 中心=(15×4－45)/(4 － 1)=5 奇偶按角边: 第一行和=第一列和 : a1+a2+a3 ≡a1+b1+c1?a2 ≡b1 边=奇: a1+a2+a3 ≡1 ? a2 ≡1 边=奇, 角=偶 案例7. 奇与偶的算术  ---二元域 曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇数与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式: 偶±偶=偶,偶±奇=奇,奇±奇=偶; 整×偶=偶,奇×奇=奇. 用0,1表示: 0±0=0,0±1=1,1±1=0; a×0=0,1×1=1. 二元