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例谈构造辅助数列求数列的通项公式 　　摘 要：本文通过例题的形式分析、解答构造辅助数列求数列通项公式的几种常用方法。求数列的通项公式实质是寻找数列的第n项与序号n之间的联系纽带。若已知数列的递推公式求数列的通项公式，可以通过换元将原问题转化为等差、等比数列问题，换元的关键是变换题设中所给的递推关系式，构造出等差或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列的通项公式便可间接的求出原数列的通项公式。 　　关键词：构造； 辅助数列； 等差数列； 等比数列 　　数列的通项公式，揭示了数列的项与序号之间的内在联系，并以一个函数的形式概括出一般规律。数列的通项公式是数列概念的重点内容，依据一定的条件求数列的通项公式则是数列概念的难点。 　　已知数列的递推关系式求其通项公式，除了采用等差、等比数列的定义和“归纳―猜想―证明”的思路外，通常还可以考虑对递推关系式进行恒等变形、化简，构造辅助数列，从而转化成等差、等比数列或容易求出通项公式的数列来求解。另外，也可以考虑将递推关系式变形，利用叠加法、叠乘法求得。其中，“归纳―猜想―证明”的思路的第三步必须用数学归纳法进行证明。但是，数学归纳法在近几年高考中的考察力度降低，有弱化的趋势。而利用等差或等比数列的定义求通项公式又比较简单。因此，由数列的递推关系式求通项公式，应重视后两种思路。 　　借助辅助数列求数列的通项公式，实际上是通过换元将问题转化成等差、等比数列或容易求出通项公式的数列问题，充分体现了数学中非常重要的换元、转化和化归思想。 　　下面，我通过几个例题来谈一下构造辅助数列求数列的通项公式的方法。希望各位老师批评指正。 　　题型一： 　　递推关系式形如 或 （其中p，q是常数，且 ）的求通项公式问题，当 时，数列 是等差数列；当 时，用待定系数法构造以 为公比的等比数列，将等比数列的通项公式变形即得所求数列得通项公式。 　　例1.已知数列 满足 ，且 ，求 . 　　解：设 ，即 ， 　　与已知 比较知c=1. 　　∵ ， 　　∴数列 是以 为首项，3为公比的等比数列。 　　∴ ，故 。 　　点评：一般地，形如 的递推公式，当 时，可转化为 .从而构造出以 为公比的等比数列 . 　　另外，也可将 与 作差，再构造出以 为公比的等比数列，同样能得出结果。如以下的解法二： 　　解法二：∵ ① 　　∴ ② 　　②-①得： 　　设 ，则 　　∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列。 　　∴ ，即 　　∴ ，整理得： . 　　例2. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 　　解：设 ，则 　　. 　　与已知 相比较得 ，故 　　. 　　∵ 及 ，则 . 　　∴数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列， 　　∴ ，故 . 　　例3.设数列 满足 ，求 . 　　解：设 则 将 代入递推式 ， 　　∴ 　　∴取 ① 　　则 ，又 ，故 代入①得： . 　　说明：若 二次式，则可设 . 　　题型二：递推关系式为 （p，q均为常数， ）可先在原递推关系式两边同除以 ，得： ，构造辅助数列（其中 ），得： ，再应用题型一的方法解决。 　　例4. 已知数列 中， ，求 . 　　解：在 两边乘以 得： 　　， 　　令 ，则 ， 　　应用例1解法得： ， 　　所以 　　点评：求解该题型的问题，也可以考虑直接用待定系数构造等比数列。 　　题型三：递推关系式为 （其中p，q是不为0的常数），则用倒数法将递推关系式变形，再构造等差或等比数列求数列通项公式。 　　例5.数列 中，若 ， ，求 . 　　解：∵ ， 　　∴ ， 　　即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 　　∴ ，即 。 　　例6.在数列 中，若 ， ，求 . 　　解：∵ ， 　　∴ ， 　　令 ，则 ， 　　利用题型一的方法知， ，则 　　点评：该题型的问题中，注意分式的分子比分母简单，所以考虑等式两边同时取倒数，再用通分的逆运算整理等式，最后构造辅助数列即可。 　　题型四：递推关系式为 （其中p，r为常数，且 ），用对数法构造等差、等比数列求数列通项公式。 　　例7.在数列 中，若 ， ，求 . 　　解：∵ ， 　　∴ ， 　　对 两边取以3为底的对数得 　　， 　　∴数列 是以 为首项，2为公比的等比数列， 　　∴ ，即 。 　　点评：应用对数的运算律，巧妙的将次数转化为系数。 　　题型五：递推关系式由 与 的关系给出，可利用 构造等差或等比数列求数列通项公式 　　例8.已知数列 的前n项的和为 ，且满足 　　，又 ，求 . 　　解：∵ 时，有 ， 　　∴由 ，得 　　即 ，亦即 ， 　　∴