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利用题目的变形学习正弦函数的图象及性质 　　摘 要：三角函数的图象及性质是高中数学学习的一个重点，也是高考考查的一个热点。其图象及性质涵括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值性、对称性等，其考察题型除了包含上述内容还包含三角函数图象的变换及画法等，内容多，容易混淆，为了解决学生在学习中所产生的困惑，笔者借助数学课本、三维设计一轮复习材料、步步高二轮复习材料及各地市的质检卷等资料，对相关的一些知识点及题型进行归类整理，汇编成一题多变性形式，让学生在题目的变形中思考、分辨、理解、掌握及灵活应用。 　　关键词：周期性；单调性；值域；最值；图象的变换；奇偶性 　　例题：已知函数f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R 　　（1）化单函数（添加辅助角）。 　　解：f（x）=■+■sin2x+2?■=■sin2x+■cos2x+■=sin（2x+■）+■ 　　【题后反思】学习三角函数的图象及性质，得先学会三角函数的恒等变形，只有恒等变形正确，接下来的求解才能正确。三角函数的恒等变形主要依靠的公式有：化单公式（添加辅助角）、两角和与差的三角函数、倍角公式、降幂公式等。 　　（2）求f（x）的最小正周期、振幅、频率、初相、相位。 　　解：最小正周期：T=■=π 振幅：A=1 频率：f=■=■ 　　初相：■ 相位：2x+■ 　　【题后反思】①y=Asin（wx+Φ）的最小正周期为T=■（注意：w指的是x前面的系数）如：y=2sin（2x+■）（w0）的周期为π，则应得到的是T=■=π，而不是T=■=π②频率f为周期T的倒数，及f=■=■ ③振幅A=■ 　　（3）求f（x）的单调递增区间。 　　解：令2kπ-■≤2x+■≤2kπ+■得2kπ-■≤2x≤2kπ+■ 　　kπ-■≤x≤kπ+■（k∈Z） 　　∴f（x）的递增区间为[kπ-■，kπ+■]（k∈Z） 　　【题后反思】想做好这类题目，关键得熟记y=sinx的单调增减区间，可以通过正弦曲线先记y=sinx的一个增区间，如[-■，■]，再加上它的所有周期2kπ，得到y=sinx的增区间为[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z），类似，y=sinx的减区间也可如此记忆。 　　（4）求f（x）在（-π，0）上的单调递减区间。 　　解：令2kπ+■≤2x+■≤2kπ+■得2kπ+■≤2x≤2kπ+■ 　　kπ+■≤x≤kπ+■（k∈Z） ∵x∈（-π，0） 　　∴x∈（-■，-■） ∴f（x）在（-π，0）的递减区间为（-■， 　　-■） 　　【题后反思】这类题目比（4）只是多了一步在f（x）的所有减区间中寻找满足x∈（-π，0）的区间而已，方法为对k赋值0，1，-1…等，再利用数轴求所有减区间与（-π，0）的交集。 　　（5）求f（x）的对称轴及对称中心。 　　解：令2x+■=kπ+■得 2x=kπ+■ x=■kπ+■（k∈Z） 　　∴f（x）的对称轴为x=■kπ+■（k∈Z） 　　令2x+■=kπ得 2x=kπ-■ x=■kπ-■（k∈Z） 　　∴f（x）的对称中心为（■kπ-■，■）（k∈Z） 　　【题后反思】①对称轴为直线，对称中心为点；②在求对称中心时，应注意图象有无向上或向下平移，以确定纵坐标。 　　（6）求f（x）的最大值及最小值，并求出f（x）取得最大及最小值时的x的取值集合。 　　解：令2x+■=2kπ+■得2x=2kπ+■ x=kπ+■（k∈Z） 　　∴当x的取值集合为{x|x=kπ+■，k∈Z}时，sin（2x+■）=1 　　■ 　　令2x+■=2kπ-■得 2x=2kπ-■ x=kπ-■（k∈Z） 　　∴当x的取值集合为{x|x=kπ-■，k∈Z}时，sin（2x+■）=-1 　　■ 　　（7）求f（x）在[-■，■）上的值域。 　　解：-■≤x■ -■≤2x■ -■≤2x+■■ 　　∴-■≤sin（2x+■）≤1 ∴1≤sin（2x+■）+■≤■ 　　∴f（x）在[-■，■）上的值域[1，■] 　　（8）已知函数y=f（x）+a在区间[0，■]上有最大值2，求a的值。 　　解：0≤x■ 0≤2x■ ■≤2x+■■ 　　∴■≤sin（2x+■）≤1 ∴2≤sin（2x+■）+■≤■ 　　∴2+a≤sin（2x+■）+■+a≤■+a 　　∴y=f（x）+a在[0，■]上的值域[2+a，■+a] 　　∵y=f（x）+a在区间[0，■]上有最大值2 ∴■+a=2 ∴a=-■ 　　【题后反思】（6）（7）（8）为一个类型的题目，求给定区间的值域或最值得先计算相位的取值范围，然后结合函数的图象看最高及最低点，寻找最大、最小值，借此再写出值域。 　　（9）该函数的图象可由