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在解题中发现 在探究中升华 　　摘 要：接受、记忆、模仿和练习是数学常规教学中的基础，但绝不是目的和根本。高中数学课程更应该倡导学生的自主探究，动手实践，合作交流，使学生在学习活动中成为“创造者”，而不是“模仿者”。探讨从例题讲解到“探究，拓展”的几个可行性阶段，使学生在学习数学的过程中，得到更有效的思维锻炼，真正实现由“学会”到“会学”的转变。 　　关键词：教学反思；数学探究；自主学习；教育价值 　　一、背景 　　《普通高中数学课程标准》指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究，动手实践，合作交流等学习数学的方式，使学习活动成为在教师引导下“再创造”的过程。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断。 　　对于例题的讲解，通常分为紧密联系的三个层次：感受、理解；思考、运用；探究、拓展，但教师的教学通常会到第二层次，无视或忽视了第三层次。事实上，“探究、拓展”中含有丰富的资源，可以充分挖掘，整合。其核心思想是将第一思考时间还给学生，将第一表达机会还给学生，将第一反思机会还给学生。数学探究是学生学习的心理回归，是数学教学的学术回归。它有利于学生深入理解数学知识，把握数学的思想方法。基于此，教师要明确如何通过课堂例题的教学向学生呈现数学思维方式的形成过程，并努力构建基于数学学科本质的探究。 　　二、案例 　　例1.当函数f（x）=（x2-2x）ex取得最小值时，x的值是（ ） 　　A.2 B.-2 C. D.- 　　分析：f′（x）=ex（x2-2），令f′（x）=0，则x=± 　　画出f（x），f′（x）的表格如下： 　　选C 　　例2.（2005，全国卷II）已知a≥0，函数f（x）=（x2-ax）ex 　　（1）当x为何值时，f（x）取得最小值，证明你的结论； 　　（2）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围。 　　分析：（1）f′（x）=[x2-（2a-1）x-2a]?ex 　　令f（x）=0，则x= =a-1± 　　令x1=a-1- ，x2=a-1+ ， 　　画出f（x），f′（x）的表格如下： 　　故当x=x2=a-1+ 时，f（x）取得最小值。 　　（2）略解：已知a≥0，有a-1- -1，a-1+ ≥a≥0 　　故[-1，1]？哿（x1，x2），只需a-1- ≥-1即可，解得a≥ 　　通常在讲解完这两道例题之后，大部分学生会就此结束思考、探究，匆忙进入下一个环节的问题解决中。这种情况下，教师不妨引导学生观察，这两道例题研究的函数有没有什么共同的特征？最终都归结于研究什么样的函数问题上呢？ 　　可以发现，形如函数y=（ax2+bx+c）?ex+m（a≠0，x∈R）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，x∈R）有着千丝万缕的关系。 　　这时，教师就可以带领学生利用《几何画板》共同来探究函数 f（x）=（ax2+bx+c）?ex+m（a≠0，x∈R）的性质和图象： 　　f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]?ex+m 　　设Δ=b2-4ac，Δ′=（2a+b）2-4a（b+c）=4a2+b2-4ac=4a2+Δ 　　（1）若Δ=0，有Δ′0，此时函数f（x）=（ax2+bx+c）?ex+m与y=ax2+bx+c有相同的零点x0=- ，而f′（x）=0有两个不同的根x′1和x′2 （x′1x′2），x′1，2= = 故x′1=-2+x0，x′2=x0 　　借助《几何画板》，画出f（x）的图象大致如图1、图2。 　　图1（a0） 图2（a0） 　　（2）若Δ0，有Δ′0，函数f（x）=（ax2+bx+c）?ex+m与y=ax2+bx+c有相同的零点x1和x2（x1x2），此时方程f′（x）=0有两个不同的根 x′1和x′2（x′1x′2） 　　画出f（x）图象大致如图3、图4。 　　图3（a0） 图4（a0） 　　（3）若Δ0仍成立，但f（x）=（ax2+bx+c）?ex+m与y=ax2+bx+c均没有零点，此时f′（x）=0仍有两个不同的根x′1和x′2（x′1x′2）借助《几何画板》，画出f（x）的图像如图5、图6。 　　图5（a0） 图6（a0） 　　综上研究，发现函数f（x）=（ax2+bx+c）?ex+m（a≠0，x∈R）的零点，极值，单调性与二次函数y=ax2+bx+c的性质密切相关，我们可以总结出如下的结论： 　　①当Δ=b2-4ac=0时，有Δ′=4a2+Δ0，函数f（x）有一个零点 x0=- 和两个极值点x0-2及x0，其中x