2012年浙江省高考数学（文科）第22题解法探析.docVIP

2012年浙江省高考数学（文科）第22题解法探析 　　2012年浙江省高考数学（文科）试卷第22题： 　　如图1，在直角坐标系xy中，点P（1，）到抛物线C：y=2px（p0）的准线的距离为，点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分. 　　（1）求p，t的值； 　　（2）求△ABP的面积的最大值. 　　图1 　　本题突出考查了解析几何中的直线与抛物线的位置关系、面积、点到直线的距离公式等主干知识，强化能力立意，加强了解析几何与函数、方程、导数等相关知识的链接、渗透与融合.注重在知识网络的交汇点处设计试题，在强调考查函数与方程思想、化归与转换思想，强调考查通性通法的同时，增加了运算处理能力的考查. 　　命题者提供的参考答案是： 　　解法一： 　　（1）由题意2pt=11+=得p=t=1 　　（2）设A（x，y），B（x，y），线段AB的中点Q（m，m）， 　　由题意知，直线AB的斜率肯定存在，设直线AB的斜率为k（k≠0）， 　　∵y=xy=x，∴（y-y）（y+y）=x-x，∴k?2m=1，∴k=. 　　∴直线AB的方程为y-m=（x-m），即x-2my-2m-m=0. 　　又x-2my+2m-m=0y=x， 　　∴y-2my+2m-m=0，且△=4m-4m0， 　　y+y=2m，y?y=2m-m， 　　从而|AB|=|y-y|=?. 　　设点P到直线AB的距离为d=， 　　∴S=|AB|?d=|1-2（m-m）|. 　　由△=4m-4m0，得0m1， 　　令u=，u∈（0，]，∴S=u（1-2u）. 　　设S（u）=u（1-2u），（0u≤） 　　S′（u）=1-u，由S′（u）=0，得u=∈（0，]， 　　∴S（u）=S（）=. 　　故△ABP的面积最大值. 　　解法二： 　　（1）同解法一. 　　（2）设A（x，y），B（x，y），直线AB的方程为：x=ay+b（a≠0）， 　　由y=x ①x=ay+b ②得y-ay-b=0. 　　∴y+y=a，y?y=-b，△=a+4b0， 　　又∵线段AB被直线OM平分，∴AB的中点（，）在直线OM上. 　　∴a+2b=a即2b=-a+a，∴△=a-2a+2a0，∴0　　|AB|=|y-y|==?=?. 　　设点P到直线AB的距离为d==（0　　∴S=[2-（-a+2a）]. 　　令=u（0u≤1），设S（u）=u（2-u）， 　　S′（u）=-u，令S′（u）=0得u=∈（0，1]， 　　∴S（u）=S（）=，∴S的面积的最大值为. 　　解法三： 　　（1）同解法一. 　　（2）设A（x，y），B（x，y），因为直线的斜率肯定存在， 　　设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0）， 　　由y=kx+b ①y=x ②得kx+（2kb-1）x+b=0， 　　∴x+x=-，∴x?x=. 　　△=（2kb-1）-4kb0，即1-4kb0， 　　又AB被直线OM平分，∴=， 　　得k=1-2kb，即b=，∴△=1-4k?0，∴k. 　　∴|AB|=|x-x|= 　　==. 　　点P到直线AB的距离d==. 　　∴S=|AB|?d=?=?（k+-1）=?=?=[1-（-）] 　　令=u（0u≤1），∴S=u（1-u）. 　　记S（u）=u（1-u），S′（u）=（1-u）=0得u=∈（0，1]， 　　∴S（u）=S（）=，故△ABP的面积最大值为. 　　另在解法三中，若由①得x=-代入②则类同解法二. 　　三种解法的繁与简源于直线方程的不同设法： 　　解法一：直线AB与抛物线相交，且与线段AB的中点位置有关，故可用“点差法”属通法；解法二：设直线AB方程为：x=ay+b（a≠0）好于方程组的整理，也属通法.解法一、二在表示△ABP的面积分别为S=[1-2（m-m）]，S=[2-（-a+2a）]后，由此较容易想到换元法，再利用导数求最值从而简化了运算.解法三中设直线AB方程为：y=kx+b（b≠0）更符合通法，但从S=（k+-1）化到S=×[1-（-）]，再用换元法求最值，在高考限定的时间里找到中间的过渡方法是极其困难的.若直接用导数求最大值，学生则会感觉无法进行下步的运算，因此在最通法中处理运算时要走独木桥是此题的遗憾之处.理想的命题应当是：设直线AB方程为y=kx+b，面积的表达式出来后，用最通的“通法”导数求最值可解才是上上之作. 　　从本题三种不同解法中获得对平时教学上的几点启示： 　　1.根据“题情”选“设法”. 　　解法一、二的设直线方程，是有“题情”为据的，它的解题过程更简捷些.其实因题设条件不同，用不同的方法，各有长短，需要针对具体