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“再创造原理”在梯形教学中的应用 　　【摘要】 将“再创造原理”应用于梯形教学设计的三个环节：“数学现实”——从学生的原认知结构中提出问题；“似真推理” ——让学生在探究中发现；思想方法——让学生在解题中体验概括. 　　【关键词】 “再创造原理”；梯形； 教学设计 　　“再创造”相对于 “原始创造”而言，它不是机械地去重复历史，而是指每个人在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识，也就是说，由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来. 弗赖登塔尔认为：数学教学方法的核心是学生的“再创造”，并且 “再创造”的过程必须是由学习者自己主动去完成的，而不是任何外界所强加的，在数学教学中，应当特别注意学生要用自己获取数学的体系来建构他们的数学知识.这对培养学生的创新意识和创造能力有着十分重要的意义. 本文将“再创造原理”应用于梯形（第一课时）的教学设计，供同行参考. 　　一、“数学现实”——从学生的原认知结构中提出问题 　　每名学生都有自己的生活、学习和思考着的特定的客观世界，都掌握一些反映这个客观世界的各种数学概念，以及运算方法、规律和有关的数学知识结构.这就是说，每名学生都有自己的一套“数学现实”.“再创造”教学只有根据学生实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，才能收到实效. “数学现实”要求教师从学生的“数学现实”出发，努力探索一种适合学生自主发展的教学模式，通过“再创造”教学，培养学生的创新精神. 　　本节课开始，教师从学生的原认知结构中提出问题，即 　　问题1：平行四边形的定义是什么？它具有哪些性质？平行四边形性质的探究是围绕哪些方面展开的？ 　　问题2：（教师运用多媒体将平行四边形的顶点D在射线AD上移动如图1），当点D在射线AD（不包括A点）上运动时，能得到哪些图形？ 　　你能画出这些图形吗？这些图形有什么关系？ 　　在学生动手动脑的基础上，师生共同复习了梯形与平行四边形的概念，再利用分类思想建立四边形、平行四边形、梯形、直角梯形、等腰梯形的知识结构（知识结构图略）.接着向学生介绍等腰梯形具有对称、美观等特点，例如，有些提包的形状也设计成等腰梯形， 受到人们的青睐，让学生感受等腰梯形具有的轴对称性及在日常生活中的运用. 　　问题1的设计，强调从结构特征、讨论问题的思想方法等角度，对已有知识进行复习回顾，为学生从边、角、对角线、对称轴等方向去猜想等腰梯形的性质提供借鉴. 　　问题2的设计，旨在提出问题的方法，研究思路的引导.让学生在图形运动变化中感知梯形与平行四边形之间的联系和区别. 　　从学生的“数学现实”出发提出问题，正视学生的认知结构，了解学生的“创造”能力，引发了学生的认知冲突，增强学生“再创造”的浓厚兴趣. 　　二、“似真”推理——让学生在探究中发现 　　数学中的创造都是从猜想开始的.在数学“再创造”的过程中，猜想有着重要的作用.但传统的数学教学往往忽视这一点，片面强调演绎的作用，偏向于培养学生的逻辑思维能力，这对学生创造能力的培养是很不利的.因此，教师在“再创造”的教学设计中，应引导学生像科学家发现真理那样去学习.一方面，要鼓励学生观察，试验，用直觉或推理（如合情推理）提出猜想（如性质，法则，公式等），另一方面，又要教会学生善于应用演绎推理的方法，对猜想进行证明. 　　于是，教师继续提出问题让学生猜想. 　　问题3：梯形与平行四边形的共同特点是都有一组对边平行，因此它们“相似”. 类比平行四边形性质的提出过程，你能提出哪些关于等腰梯形性质的猜想？ 　　学生先独立思考，再小组内交流，接着教师请各小组派代表在全班汇报.最后师生整理各种猜测得到（如图2）： 　　① ∠ABC = ∠DCB， 　　∠BAD = ∠CDA. 　　② AB = DC，AC = BD，OB = OC，OA = OD. 　　③ △BAD ≌ △CDA，△DBC ≌ △ACB，△ABO ≌ △DCO. 　　④ 梯形ABCD是轴对称图形. 　　⑤ △OBC是等腰三角形. 　　⑥ 等腰梯形的对角线互相平分. 　　⑦ S△BAD = S△CDA，S△BAO = S△CDO . 　　在学生猜想的基础上，教师引导学生通过将等腰梯形纸片对折，或者用三角板、量角器测量来验证得到的猜想，从而否定了猜想 ⑥. 　　由于猜想结论是学生自己发现的，那么猜想结论正确性的证明也就成了学生自发的需要. 于是学生讨论认为： 　　要证明上述结论， 只要证明∠ABC = ∠DCB，其他结论的证明也就一目了然了. 于是教师让学生证∠ABC = ∠DCB，其余留到课外证. 　　当学生写出如下的已知、求证时，即 　　已知：如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD