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“向量坐标化” 　　平面向量作为高中数学必修四第二章的内容，高考每年必考，主要是考查向量的运算，包括不含坐标的运算和含有坐标的运算，难度并不大，但是向量作为数学的一个工具，还是起到了一定的作用，尤其是向量问题坐标化，往往会给我们解题带来很大的帮助，向量的坐标表示将向量的运算转化为我们最熟悉的实数运算，为快速准确解题带来了极大的方便，对明确给出向量坐标的题目我们已经会解了，而对于没有明确给出向量坐标的题目，往往就不知如何入手，下面通过实际例子，来体验“向量坐标化”的应用，主要以今年高考题为例。 　　例1. （2013江苏卷理10）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=23BC，若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为 　　. 　　解析：不妨设△ABC为等腰直角三角形，B=90°，AB=BC=2，以B为原点BA、BC为两坐标轴建系，将坐标代入DE=λ1AB+λ2AC，易得λ1+λ2=12. 　　例2.（2013山东卷理15）已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为 　　。 　　解析：以A为原点，AB为X轴建系，易得A、B、C、P坐标以及AP，BC的坐标，再由AP⊥BC，可得λ=712. 　　例3.（2013湖南卷理6）已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是 　　A. [2-1，2+1] B. [2-1，2+2] 　　C. [1，2+1]D. [1，2+2] 　　解析：设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），代入|c-a-b|=1，得（x-1）2+（y-1）2=1 |c|=x2+y2可视为点（x，y）与点（0，0）的距离，由圆的特点可得A. 　　例4. （2013天津卷理12）.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD中点，若AC·BE=1，在AB的长为 　　。 　　解析：以A为原点，AB为X轴建系，设B（x，0），由AD=1，∠BAD=60°可得D12，32，C1+x2，32，进而可得E，代入AC·BE=1，x=AB=12. 　　例5.（2013重庆卷理10）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|12，则|OA|的取值范围是 　　A. （0，52] B. （52，72] 　　C. （52，2]D. （72，2] 　　解析：这时压轴选择题，但是我们仍然可以用坐标。以A为原点，AB1，AB2为X，Y轴建系，设B1（a，0），B2（0，b），则P（a，b），再设O（x，y），由|OB1|=|OB2|=1，得（x-a）2+y2=1①，x2+（y-b）2=1②，由|OP74，作为选择题此时已经可以选出答案了，另一方面，由①②可得，y2≤1，x21，故x2+y22，因此选D. 　　例6. （2013安徽卷理9）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2，则点集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是 　　（A）22 （B）23 （C）42 （D）43 　　解析：这时倒数第二个选择题，由|OA|=|OB|=OA·OB=2，可知∠AOB=60°可设A（1，3），B（-1，3），P（x，y），代入{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|1，λ，μ∈R}得x+y3+x-y32，按线性规划分4类画出图形为长23宽2的矩形，选D. 　　例7. （2013浙江卷理7）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB·PCP0B·P0C。则 　　A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90° 　　C. AB=AC D. AC=BC 　　解析：以A为原点，AB为x轴建系，不妨设AB=4，则B（4，0），P0（3，0），设P（x，0），0x4，C（a，b），代入PB·PCP0B·P0C整理得，（x-3）（x-a-1）0对0x4恒成立，故a=2，∴CA=CB选D. 　　例8. （2012浙江卷理15）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC= 　　. 　　解析：以BC为x轴，M为原点建系，则B（-5，0），C（5，0），设A（x，y），AM=3，得x2+y2=9，AB·AC=x2+y2-25=-16（当然设A（0，3）更简单）. 　　例9. （2011天津卷理14）已知直角梯形ABCD AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为 　　以D为原点，DA为x轴，