“等差数列的前n项和”的教学设计和教学反思.docVIP

“等差数列的前n项和”的教学设计和教学反思 　　一、教学过程实录 　　1.创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验 　　世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？（多媒体展示三角形图案） 　　也就是计算1+2+3+…+100=？ 　　提问：有没有同学了解这个题的解题过程？简便方法？ 　　学生会联想到以前接触过的高斯求和法. 　　介绍高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”.二百多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 　　（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050. 　　设计说明 情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境”相联系.从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，提高解决问题的积极性. 　　2.层层铺垫，在自主探究与合作中学习 　　问题：1+2+3+…+100=？（高斯算法） 　　实质：首尾相加法，成对出现，每对和为101，组成50对.将和变为积来求. 　　设计说明 高斯的这一首尾配对算法学生虽然是熟悉的，但是他们对此的认知只是处于非常简单的记忆，并不能说是理解.为了让学生对此算法有更深的认识，也为了更好地推出后面的等差数列求和公式，设计了以下几个问题探究： 　　探究1：在宝石图案中，第1层到第21层共用了多少颗宝石？即1+2+3+…+21=？ 　　用同样方法相加的时候学生会发现，首尾配对后最中间一个会多出来，即：（1+2+…+10+12+…+20+21）+11.（对学生的分析归纳给予表扬） 　　发现：若项数是奇数时和项数是偶数时不同，采用这一方法求和就得分开讨论. 　　提问：是不是求和时得根据项数是奇数还是偶数进行分类讨论呢？ 　　学生可能会赞成这一说法.教师并不全盘否定，但可以指出每次这样分类会有点烦琐，此时应适当地引导学生探索更为简捷的求解方法. 　　设计说明 求和时不可能每次都通过讨论项数是奇数还是项数是偶数来进行求解.教师指出还可以将解法简洁化，激发学生探索的兴趣，让学生自己积极参与到解决问题中来. 　　引导学生回忆小学探求三角形面积是通过先补后分的方法，再用多媒体显示探索路径：补一个倒置的三角形，形成平行四边形，使得上下每行的个数刚好相等. 　　学生观察得出答案： 　　S21=21×1+212. 　　设计说明 用直观的图形启发学生，开拓思路，化繁为简. 　　帮助学生更好地理解这一简便算法.此过程渗透了数形结合的数学思想，将问题直观化.鼓励学生在以后的学习 　　中也可以结合这一较为直观的数学思想解题. 　　多补一个同样的图形，借用两倍来考虑问题，省去了对奇偶项数进行分类. 　　将几何图形转化为数学式子： 　　S21=1+2+…+11+…+20+21 　　S21=21+20+…+11+…+2+1 2S21=21×1+21 S21=21×1+212. 　　设计说明 补一个同样的式子，颠倒相加.由加法转化为乘法求解，省去了讨论奇偶项数的麻烦.这个方法记为“倒序相加法”. 　　探究2：n个自然数求和： 1+2+3+…+n=？（学生分组讨论，学生代表发言） 　　Sn=1+2 +3+…+n-1+n. 　　Sn=n+n-1+n-2+…+2+1 2Sn=n1+n S21=n1+n2. 　　也就是说n个自然数求和直接可以利用这种倒序相加法求得，不管n为奇数还是偶数. 　　设计说明 这里的n个自然数是学生最为熟悉的等差数列，不管n是奇数还是偶数，过程采用的是一样的方法，旨在让学生体验倒序相加求和这个算法的合理性，从心理上完成对首尾配对求和算法的改进.此研究过程也由特殊过渡到了一般，为等差数列前n项求和做了铺垫，培养了学生观察分析、类比推理的能力. 　　那么一般的等差数列如何求和呢？能用相同的方法吗？条件满足吗？ 　　探究3：已知等差数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，如何求前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an ？ 　　Sn=a1+a2+a3+…+an 　　Sn=an+an-1+an-2+…+a1 　　Sn=a1+（a1+d）+…+a1+（n-1）d 　　Sn=an+（an-d）+…+an-（n-1）d 　　 2Sn=n（a1+an） Sn=n（a1+an）2. 　　通过对等差数列基本概念及性质的认识，从它的基本元素出发，结合“倒序相加法”对求和公式进行了推导.（等差数列的后一项比前一项多一个公差，前一项比后一项少一个公差） 　　设计说明 推导