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《信号与系统》中卷积积分教学探讨 　　摘要：卷积积分是信号与系统中用来求解系统零状态响应的重要工具。通过一道题目使用不同的方法求解：根据卷积的定义求、根据卷积的延时性质求、根据卷积的微积分性质求，最后用MATLAB语言编程验证，表明四种方法求出的结果是一致的。在教学中，鼓励学生一题多解，灵活选用方法，注意各种方法的使用注意点及适用范围，做到举一反三。 　　关键词：卷积积分；定义法；延时性质法；微积分性质法；MATLAB 　　中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）51-0058-02 　　在电子信息类专业《信号与系统》、《数字信号处理》等课程中，卷积积分的概念和计算非常重要。卷积积分是一种重要的数学方法[1]，在线性时不变系统中卷积可以用来求取系统的零状态响应。在教学过程中，学生反映卷积概念抽象，计算烦琐。面对高职高专类学生数学基础课课时减少，推导运算能力较薄弱的现状及理论够用的原则，在课堂教学中淡化数学推导，主要讲清卷积的物理意义、作用等，关键是如何应用卷积的定义、性质等计算出卷积结果。卷积积分的计算有多种方法，如根据卷积的定义求、根据卷积的性质（延时性质、微、积分性质）求、图解法、算子计算法[2]、用变换域法求解等。 　　下面通过教材[3]上一个练习题来探讨卷积积分的求法。 　　一、例题求解 　　信号f1（t）和f2（t）的波形如图1所示，试求卷积积分y（t）=f1（t）*f2（t），画出y（t）的波形，并用MATLAB验证之。 　　（一）根据卷积的定义求 　　卷积的定义为：设有定义在（-∞，∞）区间上的两个函数f1（t）和f2（t），则其卷积为： 　　y（t）=f1（t）*f2（t）=■f1（τ）f2（t-τ）dτ 　　分析求解：使用定义求卷积，需先将f1（t）和f2（t）的解析式写出来。通常我们借助阶跃函数ε（t）和ε（t-t0）延时阶跃函数 来表示信号的闭式解析式，主要是确定非零函数值的区间。 　　f1（t）=ε（t）-ε（t-2） f2（t）=2[ε（t）-ε（t-1）] 　　根据卷积的定义知 　　y（t）=f1（t）*f2（t）=■f1（τ）f2（t-τ）dτ=■[ε（τ）-ε（τ-2）]g2[ε（t-τ）-ε（t-τ-1）]dτ 　　学生在计算到了这一步犯了难，不知如何往下计算。 　　这里的关键是要简化被积函数和确定积分的上、下限，紧紧抓住单位阶跃函数ε（t）的定义，在自变量t0时，取值为1，其他都为0。 　　综合知：当0≤τ≤2时ε（τ）-ε（τ-2）=1；当t-1≤τ≤t时，ε（t-τ）-ε（t-τ-1）=1，即当0≤τ≤2且t-1≤τ≤t时，被积函数为2。为确定积分上、下限，需要分情况讨论t的范围。 　　思考过程：0≤τ≤2的范围是固定的，确定在τ轴上，而t-1≤τ≤t的范围随着t的变化在τ轴上移动，但是其长度保持为1不变。可以找出t的5种情况，其对应的积分上、下限和卷积积分结果分别为： 　　（1）t0，y（t）=0；（2）0≤t1，y（t）=■2dτ=2t 　　（3）1≤t2，y（t）=■2dτ=2；（4）2≤t3，y（t）=■2dτ=2-（t-1）=3-t 　　（5）t3，y（t）=0 　　画出y（t）的图形为图2（d）所示。 　　说明：这道题目若利用卷积的定义求解，在确定积分上、下限和被积函数时比较烦琐。若在写出两个信号的解析式后借助卷积的性质求解会简单些。 　　（二）根据卷积的延时性质求 　　卷积的延时性质为：若y（t）=f1（t）*f2（t），有 　　f1（t-t1）ε（t-t1）*f2（t-t2）ε（t-t2）=y（t-t1-t2）ε（t-t1-t2） 　　分析求解：y（t）=f1（t）*f2（t）=[ε（t）-ε（t-2）]*[ε（t）-ε（t-1）]=ε（t）*2ε（t）-ε（t）*2ε（t-1）-ε（t-2）*2ε（t）+ε（t-2）*2ε（t-1）， 　　已知ε（t）*ε（t）=tε（t），根据延时性质有 　　y（t）=2tε（t）-2（t-1）ε（t-1）-2（t-2）ε（t-2）+2（t-3）ε（t-3） 　　画出波形后与图2（d）相同。 　　（三）根据卷积的微、积分特性求 　　卷积的微分特性：若y（t）=f1（t）*f2（t）则：y1（t）=f1（t）*f2（t）=f1（t）*f2（t） 　　卷积的积分特性：若y（t）=f1（t）*f2（t），则y（-1）（t）=f1（-1）（t）*f2（t）=f1（t）*f2（-1）（t） 　　分析求解：由卷积的微、积分特性有y（t）=f1（t）*f2（t）=f1（-1）（t）*f2（t） 　　f2（t）由两个冲激信号组成，由任意函数