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一道中考压轴题设计及解法的商榷 　　摘 要： 2011年广东深圳的中考数学题第23题设计了一个动点四边形周长最短的问题，由于答案给出的情况不完整，本文用分类讨论的方法对其他可能出现的情况加以讨论，给出了一般性的结论，并改进了题目的问法，使其更加科学. 　　关键词： 中考压轴题 设计 解法 分类讨论 　　2011年广东深圳的中考数学题第23题：如图1，抛物线y=ax■+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）. 　　（1）求抛物线的解析式. 　　（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中，点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由. 　　（3）略. 　　图1 图2 　　参考答案：y=-x■+2x+3（1）. 　　（2）存在.由y=-x■+2x+3（1）可得：E（2，3），A（-1，0），D（0，3），所以直线AE的解析式为y=x+1. 　　点D关于直线PQ的对称点为点E，作点F关于x轴的对称点F■（0，-1），连接EF■交PQ于点G、交x轴于点H，此时D、G、H、F四点围成的四边形周长最小. 　　由E（2，3），F1（0，-1）可得直线EF1的解析式为，所以G（1，1），H（，0），周长的小值为DF+EF■=2■.+2 　　（注意：如果得到点G（1，-1），点H（■，0）不是正确答案.） 　　读毕，疑问如下： 　　（1）得到这个点G（1，-1），点H（■，0）错误结果的过程是分别取了D关于x轴的对称点和F关于直线PQ的对称点.那么为什么这个结果是错误的呢？同时取两点关于两条对称轴的对称点的时候该如何取？ 　　（2）该四边形周长最短的结论未证明，若仔细考虑证明过程就会发现，该解答是基于DF是定值，而将问题转化为在x轴和直线PQ上取点G、H，使得DG+GH+HF最短.这个转化存在一个问题：DF是否会成为D、G、H、F四点所围成的四边形的对角线？如果会成为对角线，则参考答案中的答案还是最短的吗？ 　　下面分别探讨这两个问题. 　　为不失一般性，提出问题：平面直角坐标系中，在第一象限有A（m，n），B（p，q）两点，试在x轴与y轴上分别取点C、点D使得A、B、C、D四点所围成的四边形周长最小. 　　第一个问题：取点A关于x轴的对称点还是y轴的对称点得到的四边形周长较小？ 　　方案一：取点A关于y轴对称点A1（-m，n），取点B关于x轴对称点B1（p，-q），连接A■B■交x轴与y轴于点C■、D■，此时由点A、B、C■、D■围成的四边形周长记作L■.（图3） 　　方案二：取点A关于x轴对称点A■（m，-n），取点B关于y轴对称点B■（-p，q），连接A■B■交x轴与y轴于点C■、D■.此时由点A、B、C■、D■围成的四边形周长记作L■.（图4） 　　图3 图4 　　方案一中，由点A■（-m，n），B■（p，-q）可得直线A■B■的解析式为： 　　y=-■x+■， 　　则其与y轴交点D1的坐标为（0，■），与x轴交点C■的坐标为（■，0）. 　　方案二中，由点A■（m，-n），B■（-p，q）可得直线A■B■的解析式为： 　　y=■x-■， 　　则其与y轴交点D■的坐标为（0，-■），与x轴交点C■的坐标为（-■，0）. 　　若pn-mq0，即点C■与D■分别在坐标轴的正半轴上， 　　L■=AD■+C■D■+C■B+AB=A■B■+AB， 　　点C■与D■分别在坐标轴的负半轴上， 　　L■=AC■+C■D■+D■B+AB=A■B■+AB+C■D■. 　　易知A■B■=A■B■，因此L■L■； 　　反之，若pn-mq=0，则L■L■. 　　若pn=mq=0，则由点A、B、C、D围成的四边形周长不存在最小值. 　　结论一：方案一与方案二的取舍条件在于比较■与■的大小，也就是直线OA与直线OB的斜率大小.若OA斜率较小，则取点A关于x轴的对称点，点B关于y轴的对称点；若OB斜率较小，则取点B关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点. 　　为方便起见，记L=min{L■，L■}. 　　第二个问题：若点C与点D的选择过程中，若考虑AB是四边形的对角线，则此时四边形的最短周长与L相比哪个更短？ 　　若AB是四边形的对角线，则其周长最小的作法为：取点A（或点B）分别关于x轴和y轴的对称点A■（m，-n），A■（-m，n），连接A■B、A■B分别交x轴、y轴于点C■、D■，此时，由点A、B、C■、D■围成的四边形周长记作L■.（图5） 　　易得，L