一道课本例题的研究性学习.docVIP

一道课本例题的研究性学习 　　1 问题的提出师：谁能说说你是怎么求解的？理由是什么？生1：利用平面几何图形的特征，先求出圆心到直线的距离3d =，从而得到最小值为1dr？=，最大值为5dr+ =. 　　师：很好！能否从代数方面严格证明这个结论呢？ 　　师：回答得很完整，很到位！他先通过画图，寻找到思路后再通过代数方法进行论证，说理很充分！那解决这个问题就有上面的三个方法了，大家比较一下，哪一种方法更为方便？哪一种方法又是解决圆锥曲线和直线位置关系问题的通性通法呢？ 　　生4：对圆与直线的位置关系问题方法1较为方便，但方法2和3不仅可以适用于圆和直线，还适用于椭圆、双曲线、抛物线和直线的相关问题. 　　师：总结得漂亮！以后我们要针对不同问题选用恰当的解题方法，这样有助于简化解题过程和节约解题时间.由上面的讨论，我们知道圆上的点到直线的距离在1到5之间，不存在小于1或大于5的点. 　　如果把题目的条件和结论稍作变动，你会有何发现呢？ 　　（问题提得比较发散.教师的本意是想让学生把圆或直线这两个定曲线变成动曲线来研究.） 　　生：发现？！ 　　（在学生看来，这是一个非常简单的问题，运用平几知识一解了之，题目没有任何新意，学生对此本没有什么兴致.然经老师这一问“有何发现”，精神为之一振.教学中非常重要的问题之一是：在无疑处生疑，想方设法调动学生思维的积极性.） 　　师：对，只要认真观察、思考，必有重大发现！ 　　（为进一步激发学生思维的积极性，教师有意夸大其辞.） 　　师：平面上到直线l距离等于1的点在哪里？这类题目能不能换个角度来思考？ 　　生7：平面上到直线l距离等于1的点在与直线l平行的两条直线12， l l上，圆上有几个点到直线l的距离这个问题，就可以转化为研究动圆和直线12， l l的位置关系. 　　师生：太棒了！有效合理地转化，是解决数学问题的有效途径. 　　师：刚才是固定直线和圆的圆心位置不动，改变圆的半径，能否固定圆不动，改变直线的位置呢？ 　　又经过几分钟的观察、思考后，学生们发现（让有所发现的学生逐个报告发现的结果） 　　生8：（题3）已知圆224xy+=上到直线30 xyC？+=距离等于1的点有1个，则实数C的值为________. 　　生9：（题4）已知圆224xy+=上到直线30 xyC？+=距离等于1的点有2、3、4个，则实数C的取值范围为______. 　　师：你们真的太棒了！竟然连高考题都编得出来呀！ 　　（题5）在平面直角坐标系xoy中，已知圆上有且仅有四个点到直线1250xyc？+ =的距离为1，则实数C的取值范围是_____. 　　师：现在大家把刚才改编的题目1—5完成以下.（大约5分钟，几乎全部同学都完成了，而且正确率很高.学生的情绪因成功的喜悦越来越高涨！） 　　师：刻画直线的位置关系需要哪几个要素？ 　　生：两个点或一个点加斜率. 　　师：刚才所给的直线是斜率确定的一组平行直线系，如果改成过定点的直线系，情况如何？ 　　（题6）若圆22（2）（2）18xy？+？=上至少有三个不同点到直线：0l ax by+=的距离为2 2，则直线l的倾斜角的取值范围为______. 　　师：题6的关键在哪儿？ 　　生10：关键在于如何画图. 　　师：那大家考虑一下，如何来画图？要注意一些特殊的要素！（经过了5分钟） 　　3 教后反思 　　3.1 教材是开展研究性学习的蓝本 　　高考命题“源于课本，高于课本”.课本是试题的根，在教学中，我们需要反思如何才能充分利用好课本例习题的功能.如何对例习题进行改编，从而放大课本经典例习题的作用，加深学生对例习题的理解.以课本上的数学知识为内容进行选题不仅可行，而且有效，教材是开展研究性学习的“资源库”，这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，结论的推导过程，知识的发生、发展和形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程等.教师可以把这些知识形成过程的教学设计为学生再发现，再创造的研究性学习活动. 　　3.2 研究性学习的选题要注意平民化 　　著名数学教育家G·玻利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”由此可见选题的重要性.高中数学研究性学习的实施过程中，要考虑选题的起点不宜过高，要便于每个学生都能找到自己的切入口，都能在过程设计中体验自己的参与，都能在自主探索、合作交流中展示自己的所长，体验自身的价值，使不同水平的学生取得不同的提高，从而使绝大多数学生都能通过研究性学习树立起自信和兴趣.总的来讲，选择的问题难度尽可能处在学生的“最近发展区”内，以真正吸引学生参与到研究活动中，为促进全体学生