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从例题教学中谈对解题过程和策略的思考 【摘要】提高中学生数学解题能力是现实的、迫切的，本文从以下3个方面展开论述，①对学生数学解题能力的认识；②对数学解题构成、基础的认识；③培养中学生数学解题能力的途径与策略。 【关键词】数学解题；数学解题能力；能力培养 探索培养中学生数学解题能力的途径，提高中学生数学成绩，应成为各校校本教研的主要课题。 1.对学生数学解题能力的认识 问题成因。部分学生解题能力不强的原因是多方面的，与我们对数学解题的思维规律认识不清，缺少相关理论指导有关，单就课堂教学而言是将数学课解题简单化为“模仿+练习+数学事实的接受”，造成学生解题流于盲目或简单重复。 笔者近年来曾多次参加各级各类数学教学听评课活动，也包括自己的教学，总有许多遗憾或存在一些问题，即解题教学及活动①多是俳徊在一招一式的归类上，少有实质性的突破，有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现；②多是“这样解”，少有或没有“为什么这样解”；③更多关注现成、形式化问题的求解，而对学生“提出问题”、“数学应用”的培养甚少。 过去解题研究多停留在操作层面，诸如“XX解题求解技巧”、“解XX问题的XX种方法”，较少深入到心理层面，这里的心理是指人的头脑反映客观现实的过程，如感觉、知觉、思维、思想、情绪、感情等内心活动。解题训练，特别是在毕业年级就是“题海战术”，学生负担重，效率低，数学后进生似乎也没有减少，反倒是不少学生对数学学习产生了恐惧、焦虑心理现象。这些问题都值得我们深入研究。 在现行普通高中课程标准实验教科书数学（人教版）中，例题特别是综合性例题的解答都在局部或整体上展现“问题解决”的一般性过程和一些基本的解题策略。但对解题的一般性过程的构成，运用了哪些解题策略，以及在解题教学中如何渗透解题策略的培养等问题，一些教师还不能深刻领悟，以致影响课堂教学效益。时常看到，在解题时，有的学生无所适从；解题途中，徘徊不定；解题之后，无所事事。 因此，我们有必要了解解题的一般性过程的构成，思考数学“问题解决”的思想方法和策略等问题。 2.解题的一般性过程 2.1 解题的一般性过程的构成 2.1.1 著名数学家波利亚在《怎样解题》中将解题过程分为四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。 ①.弄清问题：A 已知数据（即数、图形、事项）是什么？未知数是什么？ B 画张图；C 引入适当符号 ②.拟定计划： A 你是否知道与此有关的问题和一个可能用得上的定理？ B 你能不能利用它（方法、结果）？ C 你能不能想出一个更容易着手（更普遍的、更特殊）的问题？一个类比的问题？ D 你是否利用了所有已知条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ ③.实现计划：检验每一步骤，你能否证明每一步骤是正确的？ ④.回顾：A 你能否用别的方法导出这个结果？B 你能否把这结果或方法用于其他的问题？ 2.1.2 从信息论的观点探讨解题思维过程，即①有用捕捉：主要是弄清条件是什么？结论是什么？如何建立条件与条件、条件与结论间的逻辑关系？②有关提取：在①的刺激下，通过联想提取出解题依据与解题方法；③有效组合：将上述两组信息组成一个和谐的逻辑结构。 2.1.3 教学实践经验，解题过程至少要做到①有什么？②干什么？③怎样干？ 2.2 解题的一般性过程在例题中的体现 以人教版普通高中课程标准实验教科书数学（必修4）P127例2的变式为例： 上述“分析”，包含了解题过程的两个步骤，即步骤一，审题。“观察本题的已知条件”： ，确定解题目标：“计算 ”，建立条件与结论的关系：“观察公式 、 ”： ；步骤二，解题计划的拟定。“先计算 ”，再利用公式 、 、 及商数关系求解。 “解”的全部，即解题过程步骤三：合理表述。例题特别注重推理的严谨性。如：由 ， 、得 ，又由 ， 、得 此处的推理运算，小心翼翼，一丝不苟，似乎过于拘谨，小题大做了，其实不然。这里既突显了三角函数求值的关键，也有强调步骤四“解题后的反思”的必要性之隐意。教学中，如果只有步骤一、二、三，而缺少“解题后的反思”，是必带来许多问题。事实上，在学生的作业中， 的错误，常见其间。诸如不理解、不考虑角的范围及不能较好地掌握同角公式之平方关系中符号的确定等。 笔者在教学中是这样设计的：①强调角范围对平方关系中三角函数值符号确定的关键性和唯一性作用； ②如果除去限制条件“ ”结果如何变化？不仅深化了角范围变化对三角函数值的符号的影响，还引入了“分类讨论”的数学思想； ③ 变式1：已知 求 .其中 即揭示角 与角 的内在联系，又说明了例题中角 的一般性。 ④变式2：“（2008全国理17）在 ”就是例题的简单变形，其解题思路、方法、思想都源于此例。 通过一系列的变式和合理地提高难度，达到了升华思维，深化认识，优化认知的目的。 3.解题的