奥林匹克数学技巧要点.ppt

奥林匹克数学的技巧徐贻林 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。 一．构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例1.已知 x,y,z求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1 分析：观察到：x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘积式，联想到用面积公式。 证明：构造正三角形，则 S△ABD+S△EFC+S△BDF= x(1-y)sin60o+ y(1-z) )sin60o+ z(1-x) )sin60oS△ABC= 0.5×1×1×sin60o1，故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1。 ２．将一根长为16米的铁丝做成一个长方体骨架，且骨架的表面积为10米2，若不计接头处的误差，求能做成的长方体的最大棱长． 思路：观察联想 整体改造 合理化归 解：设长方体的长、宽、高分别为x米、y米、z米， 则有： 即： 对上述方程组实施整体改造，就有 即： ∴x，y是方程A2－(4－z)A+z2－4z+5=0的两实根， ∴△=(4－z)2－4(z2－4z+5)= －3z2+8z－4≥0 ∴2/3≤z≤2，当且仅当x=y=1时右等号成立，∴zmax=2． 由于x、y、z的地位一致，因此xmax=2， ymax=2． 故能做成的长方体的最大棱长为2米． 评注：这里，需要求z(或x、或y)的最大值，初看起来不知从何处入手，但关系式中的x+y与xy，使我们立即联想到根与系数的关系定理，按此思路作整体改造，果然获得成功．强化整体改造意识，有助于提高解决高考中新异问题的能力． ３．已知a,b为两不相等的实数，且满足2a２=5-3a,2b２=5-3b,求 的值。 分析：依据常规，习惯于先求出a，b，需分四种情况讨论，运算较繁，且易出错。若能整体把握。＝只需求出a＋b与ab易联想到韦达定理根与系数的关系，问题可迎刃而解。 解：∵2a２=5-2a,2b２=5-3b且a≠b∴a与b是方程2x2+3x-5=0的两不相等实根，　∴a+b=5-3a,ab=∴易求 二．映射 它的基本形式是RMI原理。 令R表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像x，令M表示一种映射，通过它的作用把原像结构R被映成映象关系结构R*，其中自然包含着未知原像x的映象x*。如果有办法把x*确定下来，则通过反演即逆映射I=M-1也就相应地把x确定下来。取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。 建立对应来解题，也属于这一技巧。 三．极端 某些数学问题中所出现的各个元素的地位是不平衡的，其中的某个极端元素或某个元素的极端状态往往具有优先于其它元素的特殊性质，而这又恰好为解题提供了突破口，从极端元素入手，进而简捷地解决问题，这就是通常所说的“极端原理”。 使用这一技巧时，常常借用自然数集的最小数原理，并与反正法相结合。 四．对称 对称性分析就是将数学的对称美与题目的条件或结论相结合，再凭借知识经验与审美直觉，从而确定解题的总体思想或入手方向。其实质是美的启示、没的追求在解题过程中成为一股宏观指导的力量。著名物理学家杨振宁曾高度评价对称性方法：“当我们默默考虑一下这中间所包含的数学推理的优美性和它的美丽完整性，并以此对比它的复杂的、深入的物理成果，我们就不能不深深感到对对称定律的力量的钦佩”。 五．不变量 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 六． 整体处理 数学题本身是一个子系统，在解题中，注意对其作整体结构的分析，从整体性质上去把握各个局部，这样的解题观念或思考方法，称为整体处理。 七．逐步调整 在涉及到有限多个元素的系统中，系统的状态是有限的，因而总可以经过有限次调整，把系统调整到所要求的状态（常常是极值状态）。 八．奇偶分析 通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，例2-32是一个浅而不俗的例子， 用到了