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几何学简介 胡努春 浙江师范大学数学系 /hnc 什么是数学（纯粹数学） 数学是研究数量，结构，空间和变化的学问（Wikipedia） 相应数学分支：算术（arithmetic）（数论），代数（algebra），几何（geometry），分析（analysis） 大一数学科目：数学分析（微积分），高等代数（线性代数），解析几何（坐标几何） 什么是数学 《什么是数学》柯朗《数学：它的内容方法和意义》 什么是几何学（陈省身台大演讲） 什么是几何学 《数学译林》1991 VOL3 NO3(大陆) 《数学传播》1987 VOL11 NO2(台湾) 《数学文化》（香港） The American Mathematical Monthly The Mathematical Intelligencer Notices of AMS 什么是几何学 Geometry(几何学)=Geo(土地)+metry(测量) 经验几何: 求长度,面积,体积 (结论相对零散) 如利用相似性测量高度，利用三角学测量地球半径 陶哲轩：The cosmic distance ladder 《几何原本》(公理演绎几何，包含数论) 公元前300年左右，欧几里德（Euclid） 1000多版本，影响仅次于圣经 　　　 《几何原本》内容与意义 内容：从119个定义，5条公理，5公设条出发，得到465个定理.用公理化方法对数学知识作了系统化理论化总结 意义：展示认识真理的方法，从少数几条明白清晰的前提出发，用逻辑工具证明结论（第一个用公理法建立起数学演绎体系） 　　　 《几何原本》五条公设 过相异两点能且只能作一直线 线段可任意延长 以任意一点为圆心,任意长为半径可作一圆 凡直角都相等 两直线被第三直线所截,若两内角和小于两直角,则两直线作延长时在此侧相交 《几何原本》著名结论 毕达哥拉斯定理（勾股定理） 三角形内角和为 (从平行公设推出) 素数无穷多（反证法） 不可公度量（无理数、非比数） 圆周率 　　 　　 透视图法（建筑、绘画） 画法几何 　　 中心投影，平行投影 射影几何（仿射几何，欧氏几何） 平移，旋转 镜面反射（全等） 射影几何 射影几何由帕斯卡（Pascal）、笛萨格（Desargue）于17世纪创立 射影（仿射、欧氏）几何研究在中心投影（平行投影、运动）下保持不变的性质 圆锥曲线（添上无穷远点） 帕斯卡定理对椭圆，双曲线，抛物线都成立 坐标几何 由笛卡尔（Descartes）于1637年建立 （《几何学》作为《方法论》的附录发表,提出物理→数学→代数→方程的科学方法）（费马（Fermat）也做了重要贡献） 坐标几何（解析几何） 通过引入坐标，使几何与代数得以相互转换 坐标几何意义（扩大研究范围） 扩大了可研究的图形（不再限于直线、圆锥曲线） 图形不再局限于2维平面，可推广到高维空间（描述质点状态（位置和速度）需6维） 数学进入变量时代 微积分 微分 （求切线） 积分 （求面积） 微积分 由牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）于1670年左右创立,建立起微分与积分的联系 微积分基本定理（Newton-Leibniz公式） 微分几何（曲线、曲面） 欧拉（Euler）：内在坐标 蒙日（Monge）：《分析在几何学中的应用》，1807年 　　　 微分几何（曲面的弯曲性） 曲面既可看成立体的边界(与外围空间联系)也可看成一个薄膜(本身就是一个空间)　　　 黎曼几何（内蕴几何，弯曲空间） 高斯（Gauss）：《关于曲面的一般研究》，1827年 黎曼（Riemann）：《关于几何基础中的假设》，1854年 从弧长元素出发得到其他几何量和性质 黎曼几何(流形，局部与欧氏空间同胚) 基本多边形 Nash嵌入定理 黎曼几何(流形，局部与欧氏空间同胚) 欧氏几何 裸体人 坐标几何 原始人 黎曼几何 现代人 　(流形上有不同的坐标系,在局部可用坐标刻画，但这个坐标是可以任意变换的,通过控制坐标变换，得出与坐标系无关的几何性质,利用外微分形式、张量分析找出局部坐标变换下的不变量)　 黎曼几何(联络，规范场论) 黎曼几何（摆脱坐标必须有直接的度量意义） 爱因斯坦（Einstein）： （希尔伯特（Hilbert）同时也做了相应工作） 《广义相对论》1915年 (狭义相对论, 1905年) 物理几何化，引力对应于曲率 整体微分几何 Gauss-Bonnet-Chen公式 　　　 拓扑学（橡皮几何学） 欧拉示性数=顶点数-边数+面块数 柏拉图多面体 这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理论中非紧致卡拉比—丘成桐流形有关。 拓扑学（橡皮几何学） 庞加莱（Poincare）：《位