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《2.半小时掌握凸优化》.pdf
凸优化初步
七月算法 邹博
2015年3月31日
主要内容
凸集基本概念
凸集保凸运算
分割超平面
支撑超平面
凸函数基本概念
上境图
Jensen不等式
凸函数保凸运算
凸优化一般提法
对偶函数
鞍点解释
用对偶求解最小二乘问题
强对偶KKT 条件
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思考凸集和凸函数
2 2
y=x 是凸函数,函数图像上位于y=x 上方的
区域构成凸集。
凸函数图像的上方区域,一定是凸集;
一个函数图像的上方区域为凸集,则该函数是
凸函数。
稍后给出上述表述的形式化定义。
因此,学习凸优化,考察凸函数,先从凸集
及其性质开始。
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凸集
集合C 内任意两点间的线段均在集合C 内,
则称集合C 为凸集。
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凸集
5/50
超平面和半空间
超平面hyperplane
半空间halfspace
6/50
超平面和半空间
7/50
多面体
多面体有限个半空间和超平面的交集。
仿射集(如超平面、直线) 、射线、线段、半空间都
是多面体。
多面体是凸集。
此外:有界的多面体有时称作多胞形(polytope) 。
注:该定义略混乱,不同文献的含义不同。
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多面体
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保持凸性的运算
集合交运算
思考:如何证明?(提示:根据定义)
仿射变换
函数f=Ax+b 的形式,称函数是仿射的:即线性
函数加常数的形式
透视变换
投射变换( 线性分式变换)
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集合交运算 半空间的交
11/50
仿射变换
仿射变换
伸缩、平移、投影
若f是仿射变换,
若S为凸集,则f(S) 为凸集;
若f(S) 为凸集,则S为凸集。
12/50
透视变换
透视函数对向量进行伸缩(规范化) ,使得最
后一维的分量为1并舍弃之。
透视的直观意义
小孔成像
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