《利用阿波罗尼斯圆解竞赛题》.pdf

2010年第2期 5 利用阿波罗尼斯圆解竞赛题 黄 全 福 (安徽省怀宁县江镇中学，241642) 中国分类号：O123．1 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(201o)02—0005—04 (本讲适合高中) (1)阿氏圆的性质与阿波罗尼斯轨迹定 理是一组互逆命题． 1 关于阿波罗尼斯圆 (2)要牢记阿波罗尼斯轨迹定理的两大 AB为平面内的定长线段，c为一个动 特征： 点，满足CA=詈(n≠6)，则点C的轨迹是一 (i)线段成比例，即AM= ； 个圆．这个圆直径的两端是按定比导内分AB (ii)两直线互相垂直，即CM上 CN． 只要已知条件具备上述两个特征，阿波 和外分AB所得的两个分点． 罗尼斯轨迹定理立刻就有了用武之地． 如图1，M 为AB的内分 2 例题选讲 点，Ⅳ为AB的 2．1 解有关角的问题 外分点．若 图1 利用阿氏圆解有关角的问题，应该说是 用得最多的一种情况． =A而N=詈(口≠6)，则以删为直径的oD就 例 1 设凸四边形 ABCD的两组对边所 在直线分别交于点E、F，两条对角线交于点 是动点C的轨迹。 这是著名的阿波罗尼斯 (Apollonius)轨 P，过P作PO上EF于点0．求证： BOC： AOD． 迹定理．以MN为直径的o0叫做阿波罗尼 斯圆，简称阿氏圆． (2002，中国国家集训队选拔赛) 阿氏圆有如下性质： 讲解 分两种情况讨论． (1)当BD／／ 时，这个问题比较易于 在线段AB关于定 比 (0≠b)的阿氏圆 处理，此处不赘述． 上任意一点，到A、两点距离的比都等于定 (2)当BD EF时，不妨设DB与 阳 交 比詈．若点c在阿氏圆上，则CA：詈． 于点Q(如图2)． 延长 AC 此时，必有 CM 平分 ACB、CN平分 交 EF 于 点 ／ACB的外角(证明略)． K，令 D 顺便指出。： = BCD ， 易证 Q