勾股定理分类、折叠和最短路径问题.ppt

利用勾股定理求解几何体的最短路线长 * （也称作勾股定理） 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为a、b， 斜边长为c,那么 a + b = c 2 2 2 (2)使用前提是直角三角形 (3)分清直角边、斜边 注意变式: (1) a = c – b a= c – b 等. 2 2 2 2 2 勾 股 弦 A C B a b c 勾＋股＝弦 2 2 2 返回 分类思想 1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC ∟ D ∟ D A B C 1.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2= 25 或7 A B C 10 17 8 17 10 8 方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。 例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE A B C D E F 8 10 10 6 X 8-X 4 8-X 例2、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． A C D B E 第8题图 Ｄ x 6 x 8-x 4 6 练习:三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为CE，求三角形ACE的面积 A B C D A D C D C A D1 E 13 5 12 5 12-x 5 x x 8 训练:2、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=3,BC=9.点D对应点是G G (1)求BE (2)求△AEF面积 (3）求EF长 (4)连接DG,求△DFG面积 例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ B A A B C 5 3 1 5 12 二、圆柱(锥)中的最值问题 例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ A B 分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图) 解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) . 2 1 B A C 三、正方体中的最值问题 例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是多少？ A B 分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）. C A B C 2 1 例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ A B A1 B1 D C D1 C1 2 1 4 分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短. A B D C D1 C1 ① 4 2 1 AC1 =√42+32 =√25 ; ② A B B1 C A1 C1 4 1 2 AC1 =√62+12 =√37 ; A B1 D1 D A1 C1 ③ 4 1 2 AC1 =√52+22 =√29 . 四、长方体中的最值问题 练习:◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？ C D A . B . 30 50 40 图① 30 50 40 C D A . B . A D C B 30 50 40 C C D A . B . A C B D 图② 30 40 50 30 40 50 C C D A . B . 图③ 50 A D C B 40 30 30 40 50 C 如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B