(同步辅导)2015高中数学《正切函数的图像与性质及其应用》导学案 北师大版必修4.docVIP

第7课时　正切函数的图像与性质及其应用 1.了解利用正切线画出正切函数图像的方法. 2.了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单的问题. 3.掌握正切函数的性质. 常见的三角函数还有正切函数,前面我们利用单位圆中的正弦线和余弦线,研究了正弦、余弦函数的图像,利用正弦曲线、余弦曲线探讨了它们的性质,今天我们使用类似的方法来探讨正切函数的图像及性质. 问题1:正切函数及相关概念 (1)正切函数的定义 在直角坐标系中,角α满足:α∈R,且α≠　　　　　　　　,角α的终边与单位圆交于点P(a,b),则比值　　　　　叫作角α的正切函数,记作y=tan α(α∈R,且α≠+kπ,k∈Z).? (2)正切函数与正、余弦函数的关系 tan α=　　　　　　(α∈R,且α≠+kπ,k∈Z).? (3)正切线的定义 在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),过点A作x轴的垂线,与角α的? 相交于T点,则称　　　　　　为角α的正切线.? 问题2:正切曲线的图像及其特点 (1)y=tan x(x∈R,且x≠+kπ,k∈Z)的图像. (2)正切曲线不是连续的一条曲线,而是由一些相互平行的直线　　　　　　　所隔开的无穷多支曲线组成的,它不具有有界性,向上和向下都是无限延伸的.? 问题3:(1)作正切函数在一个周期内的图像的方法:类似于“五点法”的“三点两线法”作简图,这里三个点为　　　　　　,　　　　　　,　　　　　　,两线为直线　　　　　　、　　　　　　　(其中k∈Z),作出这三个点和这两条渐近线,便可得到y=tan x在一个周期上的简图.? (2)正切曲线的对称性:正切函数的图像关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是　　　　　　　.正切函数　　　对称轴.? 问题4:正切函数的性质 (1)正切函数y=tan x的定义域是　　　　　　　　　　　,值域为　　　　.? (2)正切函数y=tan x的图像与x轴的交点的横坐标是　　　　　　.? (3)正切函数y=tan x在每一个开区间　　　　　　　　　　内单调递增,但不能说在整个定义域上是单调递增函数.? (4)正切函数y=tan x在定义域上是　　　　函数.? 1.已知角α的终边与单位圆交于点(,-),则tan α等于(　　) A.　 　 B.-　 　 C.-　 　 D.- 2.如果x∈(0,2π),则函数y=+的定义域是(　　) A.{x|0xπ}　　　 B.{x|xπ} C.{x|x≤π} D.{x|x2π} 3.已知-tan(+α)=8,则tan(--α)的值为　　　　.? 4.观察正切曲线写出满足tan x0的x的取值范围. 正切型函数的定义域、值域问题 函数f(x)=的定义域是　　　　　.? 解含正切函数的不等式及求三角函数值 解不等式tan x≤. 正切型函数的单调性问题 求函数y=tan(-3x-)的单调区间. 求函数y=tan(x+)的定义域. 已知角α终边上一点坐标为(3,-4),求的值. 求函数y=tan(x+)的单调区间. 1.函数y=tan(+x)的定义域是(　　). A.{x|x≠,x∈R}　　 B.{x|x≠-,x∈R} C.{x|x≠kπ+,x∈R} D.{x|x≠kπ+,x∈R} 2.函数y=sin x·tan x是(　　). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 3.tan 2与tan 3的大小关系是　　　　　.? 4.求函数y=-2tan(3x+)的定义域、值域,并指出它的奇偶性和单调性. (2010年·全国大纲卷)记cos(-80°)=k,那么tan 100°等于(　　). A.　　　　　　 B.- C. D.- 　　考题变式(我来改编): 第7课时　正切函数的图像与性质及其应用 知识体系梳理 问题1:(1)+kπ(k∈Z)　　(2)　(3)终边或终边的延长线　线段AT 问题2:(2)x=kπ+(k∈Z) 问题3:(1)(kπ,0)　(kπ+,1)　(kπ-,-1)　x=kπ+　x=kπ-　(2)(,0)(k∈Z)　无 问题4:(1){x|x∈R,x≠+kπ,k∈Z}　R　(2)kπ(k∈Z)　(3)(kπ-,kπ+)　(4)奇 基础学习交流 1.C　由正切函数的定义可知tan α==-. 2.C　由得又x∈(0,2π),解得x≤π,故选C. 3.8　∵-tan(+α)=-tan(π++α)=-tan(+α)=tan(--α),∴tan(--α)=8. 4.解:画出y=tan x在(-,)上的图像,不难看出在此区间上满足tan x0的x的范围为0x, 结合周期性,可知在x∈R,且x≠kπ+(k∈Z)上满足tan x0的x的取值范围为(kπ,kπ+)(k∈Z). 重点难点探究 探究一:【解析】要使函数有意