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2015年普通高校招生统一考试（江苏卷） 数 学 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析： 考点：集合运算 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6 考点：平均数 3.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______. 【答案】 【解析】 试题分析： 考点：复数的模 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________. 【答案】7 【解析】 试题分析：第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;结束循环，输出 考点：循环结构流程图 5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】 考点：古典概型概率 6.已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 的值为______. 【答案】 【解析】试题分析：由题意得： 考点：向量相等 7.不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得：，解集为 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知，，则的值为_______. 【答案】3 【解析】 试题分析： 考点：两角差正切公式 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 【答案】 【解析】 试题分析：由体积相等得： 考点：圆柱及圆锥体积 10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】 考点：直线与圆位置关系 11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得： 所以 考点：数列通项，裂项求和 12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 【答案】 【解析】 试题分析：设，因为直线平行于渐近线，所以c的最大值为直线与渐近线之间距离，为 考点：双曲线渐近线，恒成立转化 13.已知函数，，则方程实根的个数为 【答案】4 考点：函数与方程 14.设向量，则的值为 【答案】 【解析】 试题分析： 因此 考点：向量数量积，三角函数性质二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在中，已知. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 考点：余弦定理，二倍角公式 16.（本题满分14分） 如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）； （2）. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得 考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理 17.（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 【答案】（1）（2）①定义域为，②千米（2）①由（1）知，（），则点的坐标为， 设在点处的切线交，轴分别于，点，， 考点：利用导数求函数最值，导数几何意义 18.（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程. 【答案】（1）（2）或．（2）当轴时，，又，不合题意． 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，， 将的方程代入椭圆方程，得， 则，的坐标为，且