2014-2015学年高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案新人教A版必修5.docVIP

3．3.2　简单的线性规划问题(一) 课时目标 1．了解线性规划的意义． 2．会求一些简单的线性规划问题． 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式或方程 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 一、选择题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为(　　) A．9 B. C．1 D. 答案　A 解析　画出可行域如图： 当直线y＝－x＋z过点A时，z最大． 由得A(4,5)，zmax＝4＋5＝9. 2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为(　　) A. B．8 C．16 D．10 答案　D 解析　画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)， |OB|＝2， C(1,3)，|OC|＝. (x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10. 3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为(　　) A．－t2＋t＋ B．－2t2＋2t C．1－t2 D.(t－2)2 答案　A 解析　 作出不等式组所表示的平面区域． 由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得 f(t)＝SOEF－SAOD－SBFC ＝1－t2－(1－t)2 ＝－t2＋t＋. 4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(　　) A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11,3 答案　A 解析　作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11. 5设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为(　　) A. B．4 C. D．2 答案　B 解析　如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)． 要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求． 经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，|AB|min＝4. 二、填空题 6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________． 答案　7 解析　作出可行域如图所示． 由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7. 7．已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示) 答案　(3,8) 解析　由得平面区域如图阴影部分所示． 由得 由得 2×3－3×1z＝2x－3y2×1－3×(－2)， 即3z8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)． 8．已知实数x，y满足则的最大值为________． 答案　2 解析　画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率． A(1,2)，B(3,0)，0≤≤2. 三、解答题 9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值． 解　如图作出线性约束条件 下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)， x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)， x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)， 作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z， 即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7. zmax＝17，zmin＝－7. 10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值． 解　作出不等式组 的可行域如图所示， 由，得A(1,3)， 由，得B(3,4)， 由，得C(2,1)， 设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OCAC，原点到点C的距离最小． 故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5. 能力提升 11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值