2015届高考数学一轮教学案(基础+考点+训练)命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)(北师大版).docVIP

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 [知识能否忆起] 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 二、四种命题及其关系 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若綈p，则綈q 逆否命题 若綈q，则綈p 2．四种命题间的逆否关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 三、充分条件与必要条件 1．如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2．如果pq，qp，则p是q的充要条件． [小题能否全取] 1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为(　　) A．若＝，则x＝y　　　　B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则＝ D．若xy，则x2y2 解析：选A　由＝得x＝y，A正确，易知B、C、D错误． 2．(2012·湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　) A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1 C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ 解析：选C　以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”． 3．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则AB是A∩B＝A成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　由AB，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)B，得AB.因此，AB是A∩B＝A成立的充要条件． 4．“在ABC中，若C＝90°，则A、B都是锐角”的否命题为：____________________. 解析：原命题的条件：在ABC中，C＝90°， 结论：A、B都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在ABC中，若C≠90°，则A、B不都是锐角”． 答案：“在ABC中，若C≠90°，则A、B不都是锐角” 5．下列命题中所有真命题的序号是________． “ab”是“a2b2”的充分条件； “|a||b|”是“a2b2”的必要条件； “ab”是“a＋cb＋c”的充要条件． 解析：由2－3/ 22(－3)2知，该命题为假；由a2b2|a|2|b|2?|a||b|知，该命题为真；ab?a＋cb＋c，又a＋cb＋cab，“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件为真命题． 答案： 　　1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”?“q?p”； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“pq”而后者是“qp”． 2．从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”． 四种命题的关系及真假判断 典题导入 [例1]　下列命题中正确的是(　　) “若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题； “正多边形都相似”的逆命题； “若m0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题； “若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题． A．　　　　　　B． C． D． [自主解答]　中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；中，Δ＝1＋4m，当m0时，Δ0，原命题正确，故其逆否命题正确；中逆命题不正确；中原命题正确故逆否命题正确． [答案]　B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 以题试法 1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． “若log2a0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； 命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； 命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价． 解析：对于，若log2a0＝log21，则a1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，