2016年高三数学(理)创新设计资料包9-4.docVIP

第讲　 基础巩固题组 (建议用时：0分钟)一、选择题 若直线ax＋by＝1与圆x＋y＝1相交则P(a) (　　) 在圆上 ．在圆外 在圆内 ．以上都有可能 解析　由得点P在圆外． 答案　 2．圆x＋y－4x＝0在点P(1)处的切线方程为(　　) ＋－2＝0 ．＋－4＝0 －＋4＝0 ．－＋2＝0 解析　易知圆心C坐标为(2)，则k＝＝－ 所以所求切线的斜率为故切线方程为 －＝(x－1)即x－＋2＝0. 答案　 3．(2015·甘肃诊断考试)已知圆O：(x－a)＋(y－b)2＝4：(x－a－1)＋(y－b－2)＝1(aR)，则两圆的位置关系是(　　) 内含 ．内切 相交 ．外切 解析　由O：(x－a)＋(y－b)＝4得圆心坐标为(a)，半径为2；由O：(x－a－1)＋(y－b－2)＝1得圆心坐标为(a＋1＋2)半径为1所以两圆圆心之间的距离为|O1＝＝因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3所以两圆相交故选 答案　 4．若直线y＝kx与圆(x－2)＋y＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称则k的值分别为(　　) ＝＝－4 ．＝－＝4 ＝＝4 ．＝－＝－4 解析　因为直线y＝kx与圆(x－2)＋y＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直且2x＋y＋b＝0过圆心所以解得k＝＝－4 答案　 5．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中分别是x轴和y轴上的AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切则圆C面积的最小值为(　　) π B.π C．(6－2)π 解析　由题意得以AB为直径的圆C过原点O圆心C为AB的中点设D为切点要使圆C的面积最小只需圆的半径最短也只需OC＋CD最小其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线垂足为E)的长度(如图)．由点到直线的距离公式得|OE|＝所以圆C面积的最小值为π＝故选 答案　 二、填空题 (2015·青岛质量检测)直线y＝2x＋1被圆x＋y＝1截得的弦长为________． 解析　圆x＋y＝1的圆心O(0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝故弦长为2＝2＝ 答案　 (2014·湖北卷)直线l：y＝x＋a和l：y＝x＋b将单位圆C：x＋y＝1分成长度相等的四段弧则a＋b＝______． 解析　由题意知直线l截圆所得的劣弧长为则圆心到直线l的距离为即＝则a＝1. 同理可得b＝1则a＋b＝2. 答案　2 (2014·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)＋(y－a)＝4相交于A两点且△ABC为等边三角形则实数a＝________． 解析　依题意圆C的半径是2圆心C(1)到直线ax＋y－2＝0的距离等于2＝于是有＝即a－8a＋1＝0解得a＝4± 答案　4± 三、解答题 已知直线l：y＝kx＋1圆C：(x－1)＋(y＋1)＝12. (1)试证明：不论k为何实数直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短 法一　(1)证明　由 消去y得(k＋1)x－(2－4k)x－7＝0 因为Δ＝(2－4k)＋28(k＋1)0 所以不论k为何实数直线l和圆C总有两个交点． (2)解　设直线与圆交于A(x)，B(x2，y2)两点 则直线lC截得的弦长 ＝－x ＝2＝2 令t＝则tk－4k＋(t－3)＝0 当t＝0时＝－当t≠0时因为k∈R 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0解得－1≤t≤4且t≠0 故t＝的最大值为4此时|AB|最小为2 法二　(1)证明　圆心C(1－1)到直线l的距离d＝圆C的半径R＝2－d＝12－＝而在S＝11k－4k＋8中 Δ＝(－4)4×11×80， 故11k－4k＋80对k∈R恒成立 所以R－d即dR所以不论k为何实数直线l和圆C总有两个交点． (2)解　由平面几何知识 知|AB|＝2＝2 下同法一． 法三　(1)证明　因为不论k为何实数直线l总过点(0，1)，而|PC|＝＝R所以点P(0)在圆C的内部即不论k为何实数直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数直线l和圆C总有两个交点． (2)解　由平面几何知识知过圆内定点P(0)的弦只有和PC(C为圆心)垂直时才最短而此时点P(0)为弦AB的中点由勾股定理知|AB|＝2＝2即直线l被圆C截得的最短弦长为2 10．(2013·江苏卷)如图在平面直角坐标系xOy中点A(0)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上过点A作圆C的切线求切线的方程； (2)若圆C上存在点M使|MA|＝求圆心C的横坐标a的取值范围． 解　(1)由题设圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点解得点C(3)，于是切线的斜率必存在． A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3 由题意得＝1解得k＝0或