《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)空间向量与空间角.pdf

Go the distance 空间向量与空间角 [知识能否忆起] 利用向量求空间角 1．两条异面直线所成的角的求法 |a ·b| 设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝ (其中φ |a||b| 为异面直线a ，b 所成的角) ． 2 ．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α 的法向量为n ，直线l 与平面α 所成的角 |e ·n| 为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝ . |e||n| 3 ．求二面角的大小 (1)如图 1，AB 、CD 是二面角α－l －β 的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小 CD θ＝〈 ， 〉． AB (2)如图2、3，n ，n 分别是二面角α－l －β 的两个半平面α，β 的法向量，则二面角的 1 2 大小θ＝〈n ，n 〉(或π－〈n ，n 〉) ． 1 2 1 2 [小题能否全取] 1．(教材习题改编) 已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α 的方向向量、法向量，若cos 1 〈m ，n 〉＝－ ，则l 与α所成的角为( ) 2 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° Go the distance 1 解析：选A 由于cos 〈m ，n 〉＝－ ，∴ 〈m ，n 〉＝120°. 2 所以直线l 与α所成的角为30°. 2 ．(教材习题改编) 已知两平面的法向量分别为 m ＝(0,1,0) ，n ＝(0,1,1) ，则两平面所成 的二面角的大小为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90° m ·n 1 2 解析：选C cos 〈m ，n 〉＝ ＝ ＝ ， |m ||n| 1× 2 2 即 〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°， ∴两平面所成的二面角为45°或135°. 3.在如图所示的正方体A B C D －ABCD 中，E 是 C D 的中点，则异 1 1 1 1 1 1 面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( ) 10