数学物理方法-第一章.ppt

数学物理方法;答疑时间：周一晚9:00-11:00. 答疑地点：2523室，或者随时联系答疑. 联系电话：lilic@cqupt.edu.cn 作业要求：作业所有人都必须独立完成并上交，把学号写在作业本上.;成绩考核;数学物理方法;复变函数论部分;《复变函数论》主要内容;教学参考书;习题参考书;参考文献;网络资源;计算机辅助工具;第一章、复变函数; 作业 第一节： 1.（2），（3），（6），（7） 2. （1）（3），（5），（6），（7） 3.（1），（2），（3）;§1-1 复数与复数运算;2.复数的几何表示;;3.复数的三角函数与指数函数表示;二、复数运算规则;2. 复数的运算法则;共扼复数的性质：;3.复数的乘幂与方根(重点); 如果在复平面上画出这n个不同方根,它们就是以原点为中心,以r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点 .;For example!;4、方根的图示;三、例题1、2、3、4见课本;四、 复球面与无穷远点; 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面 上的点来表示复数.;无穷远点：复平面上模为无穷大的点 涉及无穷大的复数运算： 确定值（条件是？） 不确定值 ;本节总结与注意;定义：若在复平面上存在一个点集G，对于G的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值ω与之对应，则称复变数ω是z的复变函数．记作;;复变函数可以看做两个实二元函数有序组合 ψ=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), 复变函数有单值函数和多值函数之分。;二、区域;2. 内点 设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。;简单(闭)曲线：与自身不相交的(闭合)曲线. 单连通区域：任意简单闭曲线内的点都属于该区域. 复连通区域：非单连通的连通区域. 区别：单连通区域内的任意一条简单闭曲线经过连续变形可以缩为一点。直观上讲复连通区域就是区域内有孔的连通区域.;单连通域与多连通域;复连通区域单连通化：作一些适当的割线能将复通区域的不相连接的边界线连接起来从而降为单连通区域.（注意：连接边界的分开方式不唯一） 边界线的正方向：为了以后学习环路积分方便??我们按照通常的规定：（当人）沿边界线环行时，所包围的区域始终在人的左手边，则前进方向为边界线的正方向. 对于有界的单连通区域，如图下图 (a) 的逆时针方向所示即为正方向. 而多连通区域单连通化后，外围逆时针为正方向，内部顺时针为正方向，如图 (b),(c)所示.;说明：当判断区域是什么样的区域时，通常按照下列顺序判断：（1）有、无界，(2)单、复连通，（3）开、闭区域. 判断|z-1|+|z+2|≤5 代表什么样的区域 【解】 此不等式所代表的区域是焦点在z=1和 z=-2，长轴为5的椭圆内部，为有界单连通闭区域.;初等复变函数;;注：全部实三角函数公式可推广到复变函数的情形.;4. 双曲函数;三角函数和双曲函数总结;务必记住对数函数的公式：;对数函数图示;对数函数注意：;3.一些对数关系式：;;(1)、定义： 设复变函数ψ = f (z),在z0的某个去心邻域内有定义，若存在一个确定的数A，对于任意ε0，必存在δ0使得在0|z-z0|δ时，总有|f (z)-A|ε，那么称A是f(z)的极限。 记作：;(2)、复变函数极限的基本定理;五、复变函数的连续;定义：如果函数f (z)在点z0有极限有定义且相等，则称函数在z0处连续。 连续的等价条件： f (z)实部和虚部分别在z0处连续 ;引言;§1-3 导数; 从上述导数的定义可以看出, 复变函数导数的求法在形式上与一元实变函数导数的求法相同，但在实质上不同，这是因为实变数?x只能沿实轴向左(?x0)及向右(?x0)两个方向趋于0，而复变函数?z可以沿着复平面内任一条曲线趋于0，与一元实函数可导相比，复变函数可导是一种更严格的要求。因此, 关于一元实变函数求导的一些结论可以套用到复变函数的求导上来。;可导与连续的关系;一些基本初等函数的求导公式，同学们参看高等数学中的求导公式。;§1-4 解析函数, Cauchy-Riemann条件;CR条件;直角坐标系下的CR条件推导;极坐标下的CR条件的推导;;举例：满足CR条件但不解析，即CR条件是必要条件不是充分条件;例：CR条件的应用（同学们自己看）;三、解析的充分条件;解析的充分条件的证明;即解析函数的实部和虚部的正交性.;u(x,y), v(x,y);复习一下解析和解析函数的概念，见