应用多的元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答.ppt

应用多元统计分析 第二章部分习题解答 * 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知 试求Y=AX+d的分布. 解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(?y,?y), 其中： 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中 （1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布. 解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)?X, Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)?X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又 故X1 +X2 和X1 - X2相互独立. 第二章 多元正态分布及参数的估计 或者记 由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立. 第二章 多元正态分布及参数的估计 (2) 因 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知 其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布. 解 :(1) 令 第二章 多元正态分布及参数的估计 由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. 第二章 多元正态分布及参数的估计 (2) 因 所以 注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0. 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为 试求X的均值和协方差阵. 解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12 第二章 多元正态分布及参数的估计 类似地有 第二章 多元正态分布及参数的估计 0 第二章 多元正态分布及参数的估计 所以 故X=(X1,X2)′为二元正态分布. 第二章 多元正态分布及参数的估计 解二:比较系数法 设 比较上下式相应的系数,可得: 第二章 多元正态分布及参数的估计 故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且 解三:两次配方法 第二章 多元正态分布及参数的估计 即 设函数 是随机向量Y的密度函数. 第二章 多元正态分布及参数的估计 (4) 由于 故 (3) 随机向量 第二章 多元正态分布及参数的估计 2-12 设X1 ~N(0,1),令 证明X2 ~N(0,1); 证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布. 证明(1):任给x,当x≤-1时 当x≥1时, 第二章 多元正态分布及参数的估计 当-1≤x≤1时, (2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有 *