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从数学“陷阱”中挖掘条件 　　摘要：中学生在数学解题时通常思维方式呆板直接，考虑问题模式化、公式化，不能灵活运用，不能抓住题目条件中的隐含条件，避不开题目中的“陷阱”，挖掘不出陷阱中隐含的条件而无法解题。 　　关键词：中学数学；挖掘；隐含条件 　　中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2013）46-0130-02 　　在从事初中的数学教学过程中，经常发现学生在数学解题时思维方式呆板直接，考虑问题模式化、公式化，不能灵活运用，不能抓住题目条件中的隐含条件，避不开题目中的“陷阱”，挖掘不出陷阱中隐含的条件而无法解题。 　　其实在很多数学问题中，有很多的隐含条件是没有直接给出的，需要学生认真分析、仔细观察甚至是广泛联想才能发现。如果能很好的利用这些隐含条件，将会使我们的解题过程非常简单，相反如果忽视这些隐含条件，解题过程将复杂化，甚至是解不出来。那么如何正确挖掘隐含条件，避开陷阱呢？ 　　一、从数学概念中挖掘隐含条件 　　数学学习中，学生对概念的学习往往停留在表面上，这也是解题时常出现错误的原因所在，而只有在对题目所涉及到的概念、定理、公式、法则、性质、图形等制约因素做到心中有数，在全面、深刻理解概念的基础上，才能从数学概念中挖掘出隐含条件，进一步指导解题。 　　例1：若二次根式■与■是同类二次根式，求a和b的值 　　分析：由题知a+b=2，得■=3■ 　　由同类二次根式的定义知a+b=2a=a+8b 　　解这个方程组，得a=2b=0 　　本题中的隐含条件有a+b=2，另一个陷阱■不是最简二次根式（同类二次根式必须是化简后的最简二次根式）。了解了这两个隐含条件，解题就比较简单了。 　　二、从命题的存在性中挖掘隐含条件 　　有些数学问题，其存在性条件常被隐去，而又往往引不起注意，从而导致解题错误或思维受阻，解题时必须注意克服常规思维定势的消极影响，灵活思维，抓存在，挖条件，使问题获得正确的解答。 　　例2：若x，y为实数，且y=■，求■·■的值 　　分析：学生按常规思维求解的话，显得无从下手。这时就要注意二次根式的存在性（被开方数必须大于等于零），便可使问题获解，所以根据被开方数存在的意义有：x2-4≥04-x2≥0 解这个不等式组，得x2=4 　　做到这时，有的同学可能就以为x=2或-2了，这里又有个陷阱，我们要注意分母的存在性，分母不能为零，所以还要加上x+2≠0，此时解题才算完整。 　　可得x=2 　　当x=2时，y=■ 　　则■·■=■ 　　三、从题设条件中挖掘隐含条件 　　例3：若一元二次方程x2-ax-4a=0的两实数根的和为4a2-3，求两根之积 　　错解：由已知得4a2-3=a 　　解这个方程得a=-■或1 　　然后再根据公式得两根之积是3或-4 　　说明：由题设条件“两实数根的和”知Δ≥0，而当a=-■时，Δ0，此时方程无实数根，应该舍去。所以a只能取1，当a=1时，两根之积为-4。 　　本题陷阱设在应用一元二次方程根与系数关系的条件中。命题者往往根据同学们不注意公式的限制条件而盲目套用的不良习惯，有意设置陷阱，解题时稍不小心就会出错。 　　四、从解题变形中挖掘隐含条件 　　在解题过程中，关注每一步变形，并从变形中挖掘隐含条件，则能拓展解题思路，简化运算过程，使问题顺利获解。 　　例4：当a为何值时，关于x的方程■+■=■无解？ 　　错解：解这个分式方程得x=■ 　　当x=±2时，原方程无解 　　此时■=±2 　　a=-4或6 　　当a=-4或6时，原方程无解 　　说明：本题的陷阱在解这个分式方程的最后一步变形中：方程两边同时除以（1-a），许多学生很容易把（1-a）看成不等于零的数，而把1-a=0的情况给遗漏了。所以还应有第二种情况：1-a=0时也是符合题意的。正确解应该是：当a=-4或6或1时，原方程无解。 　　五、从解题所用的结论中挖掘隐含条件 　　例5：设钝角三角形三边长分别为k，k+1，k+2，求k的取值范围 　　错解：由（k+2）2k2（k+1）2 　　解得k3 　　说明：此解法中只注意了钝角的条件，但这三条线段能否构成三角形却没有保证，事实上，根据三角形两边之和大于第三边这个条件，还应有k+（k+1）k+2这一条件，即k1，综上得1k3。 　　六、从题目的结构特征中挖掘隐含条件 　　解题时若题设中隐含着与某些概念、公式具有类似结构的数、式或图形信息，则应抓住结构特征，揭示隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。 　　例6：若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2=338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状 　　分析：这道题看上去无法直接解答，但是注