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关于分段函数的应用举例分析.doc
关于分段函数的应用举例分析
摘要:数字在生活中可以说是无处不在的,也与我们的生活有着密不可分的联系,如何运用好数字,使其更好的为人们服务是数学教学的一项主要目标,也是我们教学的一个重要指导。函数作为研究数字输入与输出关系的一个特殊关系,在高中数学教学中占着重要的作用:通过对于函数的学习,我们能够很好的处理数字与数字之间的关系、数字与我们生活的关系,使数字能够更好的发挥其效果,提升我们的生活质量、加快我们的工作学习效率。分段函数作为函数的一个特殊形式,与我们的生活有着密不可分的联系,更值得我们去分析、去研究、去学习。本文笔者就生活中常见的一些分段函数案例进行论述,谈一下我对分段函数教学的一点认识。
关键词:高中 数学 分段 函数 应用 分析
一、 分段函数的表达
想要正确的运用分段函数,首先就需要对于分段函数有一个正确的认识。在很多初学者看来,分段函数是几个不同的函数组成的,并且有各自不同的表达式。其实不然,分段函数是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集,之所以有不同的表达形式,是因为自变量x在不同的取值范围里有着不同的对应法则。例如数列{an}={2,4,6,8,π},我们就可以用分段函数进行表达:
在生活中有很多关于分段函数的案例,比如出租车的计费规则便是一个分段函数,我们举例进行表达:
例一:某地方出租车的收费标准:不超过3km计费为7元,3km后按1.6元/km计费,求搭车费用y与行车里程数x之间的函数式。
分析:这是一个相对比较简单的分段函数式,主要分为两部分:超出3km是一个函数关系,未超出3km又是一个函数关系,所以只要分清这两部分就可以了,可以很简单的列举出打车费用y与里程x的关系:
根据这个表达式,我们就可以跟简单地进行费用的计算,或者也可以根据费用来计算里程数。
二、 分段函数的运用
在生活中,关于分段函数的应用也是比较多的,其中最常见的就是关于盈利类的函数解析。通过对数字之间的关系进行分析、处理,我们就能够很明确的得出各个数字之间的联系,进而使其为我们的生活服务。
例二:某公司用480万元购得某种产品的生产技术后,并进一步投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工,已知生产这种产品每件还需成本费40元。经过市场调研发现:当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;当销售单价超过100元,但不超过200元时,每件新产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元,但不超过300元时,每件产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少1万件。设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利为w(万元)。(年获利=年销售额-生产成本-投资成本)
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)求第一年的年获利w与x间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?
(3)若该公司希望到第二年底,除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后,两年的总盈利不低于1842元,请你确定此时销售单价的范围。在此情况下,要使产品销售量最大,销售单价应定为多少元?
分析:(1)根据题意,列出分段函数。(2)根据条件,求出二次函数解析式,从中找出最值以及相应的自变量范围。(3)分情况进行讨论,找出最值以及相应的自变量取值范围。
解:(1)
(2)投资成本为480+1520=2000万元
当100≤x200,y=-0.08x+28
w=xy-40y-2000=(x-40)(-0.08x+28)-2000=-0.08x2+31.2x-3
120=-0.08(x-195)2-78
可见第一年在100≤x200注定亏损,x=195时亏损最少,为78万元
当200≤x≤300,y=-0.1x+32,
w=xy-40y-2000=(x-40)(-0.1x+32)-2000=-0.1x2+36x-3280
=-0.1(x-180)2-40
可见第一年在200≤x≤300注定亏损,x=200时亏损最少,为80万元
综上可见,x=195时亏损最少,为78万元。
(3)两年的总盈利不低于1842万元,可见第二年至少要盈利1842+78=1920万元,既然两年一块算,第二年我们就不用算投资成本那2000万元了。
第二年:
100≤x≤200时
第二年盈利=xy-40y=-0.08(x-195)2+1922≥1920
解不等式得到:190≤x≤200
200≤x≤300时
第二年盈利=xy-40y=-0.1(x-180
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