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几种常见细分方法分析 　　摘要： 细分方法是一种离散造型方法，突破了原来曲面造型的离散-连续-离散的模式，计算量小、算法简单、造型速度快。本文给出了细分方法的分类标准，并对一些常见的细分方法进行了简单的论述和比较。 　　关键词：细分；控制网格；曲面造型 　　1引言。曲面造型方法一直是计算机辅助几何设计及计算机图形学领域的重点研究内容之一，而细分法是计算机辅助几何设计曲线曲面造型中的一类很有效的方法，由于是从离散到离散的细分模式，所以处理过程比较简单，因而是一种快速生成曲线、曲面的方法。目前国内外对细分方法的研究都有了长足的进步，主要体现在从三角形网格、四边形网格向多边形网格及任意拓扑网格的发展。1978年Catmull和Clark以及Doo和Sabin分别发表了一篇在图形学领域具有里程碑意义的论文，也就是图形学界推崇的Catmull-Clark算法[1]和Doo-Sabin算法[2]，标志着网格细分方法研究的真正开始；1987年，美国犹他大学的Loop在他的硕士论文中提出了Loop细分规则，1990年Dyn，Gregory和Levin提出了蝶型细分算法[3]；Leif Kobbelt在1996年提出了一种基于四角网格的插值方法；张宏鑫等人[4]设计了半静态回插细分方法，解决了传统细分方法中细分图形存在收缩、光顺性差的一些问题。近些年提出的细分模式还有：Peters的4-3模式[5]；Ivrissimtzis等的 模式[6]。 　　2细分方法的分类。一般情况下，对细分方法的分类主要有以下几个标准：（1）根据构成网格的边数不同进行分类，如三角形网格、四边形网格、六边形网格等等；（2）根据拓扑分裂类型分类，如一个点生成多个点的方法叫做点分裂法，一个面生成多个面的方法叫做面分裂方法；（3）根据细分极限曲线曲面与控制多边形（网格）关系把细分方法分成逼近型细分方法和插值型细分方法；（4）根据生成最终曲面的连续性和光滑性来把细分方法进行分类，如C1、C2连续等类型；（5）按同一层次细分规则的特点，可分为均匀细分模式、非均匀模式；（6）根据几何规则与细分层次的关系分类，分为静态细分模式、动态细分模式。 　　3几种细分方法的比较。目前存在的细分方法比较多，我们只对几种对细分方法的发展有一定影响的细分方法进行介绍，其中包括Catmull-Clark细分方法、Loop细分方法、Doo-Sabin细分方法。 　　3.1 Catmull-Clark细分方法。Catmull-Clark细分方法是基于四边形网格的细分方法，目前很多的基于四边形网格的细分工作是在Catmull-Clark方法下展开的。 　　3.1.1 细分算。Catmull-Clark细分是任意拓扑结构网格上的均匀B-spline节点插值，可以由面点、边点、角点的计算规则生成： 　　面点： ；边点： ； 　　角点： 若内部顶点 的1-环的边界顶点依次为 　　，其中 ，偶数下标的顶点为邻点， 　　奇数下标的顶点为四边形面上的对角顶点，所以相应的得到角点为： 　　3.1.2连续性分析。当初始网格为规则网格时候，Catmull-Clark细分方法生成三次B样条曲面，它可以理解为是三次B样条曲面的推广。当满足 　　细分方法总能生成三次B样条曲面，因为这个条件使得初始网格为规则网格，J?rg Peters等人]证明 、 满足下面的条件时极限曲面是光滑的 　　由于Catmull-Clark细分方法在规则网格处生成双三次B样条曲面，因此除奇异顶点外曲面是 连续的，Ball和Storry证明曲面在奇异点处达到 连续，Peters和Reif证明了曲面在奇异点处达到了 连续，权值由（1）式确定。当网格带边界时，该规则生成的曲面在边界上是不光滑的。 　　内部顶点 的1-环的边界顶点依次为 ，其中 ，则该顶点所对应的极限位置为： 　　3.2 Loop细分方法。Loop细分方法是一种基于三角形网格的细分方法，所生成的曲面是盒式样条曲面的推广。 　　3.2.1 细分算法 　　边点： 　　角点：若内部顶点 的1-环的边界顶点依次为 　　，其中 ，偶数下标的顶点为邻点， 　　奇数下标的顶点为四边形面上的对角顶点，所以相应的得到角点为： 　　3.3 Doo-Sabin细分方法。Doo-Sabin是一种点分裂的细分方法，它类似于雕塑过程，即不断地切削网格的棱边和角，使之趋于光滑。 Doo-Sabin方法实际上是从Chaikin快速曲线生成方法的思想推广而来的一种生成光滑曲面的方法，生成的曲面可以达到 连续。 　　3.3.1 细分算法 　　由于Doo-Sabin方法采用了顶点分裂方法作为拓扑规则，因此它只生成面点。设有一个 边面，其顶点依次 ， 所在位置的权值为 ，于是有：面点：