加强解题指导，提高数学课堂教学的有效性.docVIP

加强解题指导，提高数学课堂教学的有效性 　　课堂教学中存在一个非常突出的问题是：课堂教学效率不高，过于注重形式，忽略了本质，学生得不到有效的发展.因此，如何提高课堂教学有效性，掌握提高课堂教学有效性的策略或技术，是摆在我们面前的一个永恒的课题. 　　课堂教学是提高教学质量主渠道.数学课堂教学基本上是围绕解题进行的，数学教学离不开解题，因此，解题教学的成功与否直接关系到教学是否有效. 　　1.领悟并掌握常用的解题策略 　　高考数学考试是在特定环境（考场）下的考试，考试成绩（变量）与时间（常量）的关系的处理就显得特别重要.在解题时，特别是在高考考场上解题时，必须快速解决以下两个问题：①从何处下手，②向何方前进.而这种能力的形成，离不开平时的大量解题实践. 　　差异分析法就是一种行之有效的解题策略. 　　例1已知a2，b2，c2成等差数列，求证：11b+c，11c+a，11a+b也成等差数列. 　　分析要证的结论就是11b+c+11a+b=21c+a.可以从几个方面找差异，并确定消除差异的方法： 　　①左边有两个分式，右边只有一个分式，从左边向右边转化时，可以使用通分达到这个目的.（解决了“从何处下手”） 　　②左边含有三个字母a，b，c，右边只有两个字母a，c，从左边向右边转化时，可以通过消去b达到目的.（初步解决了“向何方前进”） 　　解∵a2，b2，c2成等差数列，∴b2=a2+c212. 　　11b+c+11a+b=c+a+2b1（b+c）（a+b）=c+a+2b1ab+bc+ca+b2（接下去的目标：约去“c+a+2b”） 　　=c+a+2b1ab+bc+ca+a2+c212=2（c+a+2b）12ab+2bc+2ca+a2+c2（分子已出现了“2”） 　　=2（c+a+2b）12b（c+a）+（c+a）2=2（c+a+2b）1（c+a）（c+a+2b）=21c+a.（成功了） 　　∴11b+c，11c+a，11a+b成等差数列. 　　通过解题教学，应使学生掌握基本的认知策略，积累解题经验，提升思维水平.面对一个陌生的问题，我们可以按以下方法制定解题方案：①粗线条地理清框架——审题，明确解题方向；②分清层次——分散难点；③各个击破——处理好每个细节. 　　2.一题多解与最优解法 　　很多数学问题，只要解题者观察问题的角度、观点不同，就可以产生不同的解法. 　　例2已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0，求①y1x，②y-x，③x2+y2的取值范围. 　　角度一代数观点——视x2+y2-4x+1=0为方程. 　　①令y1x=t，得y=tx，代入原方程，得（1+t2）x2-4x+1=0. 　　令Δ≥0，得-3≤t≤3，即-3≤y1x≤3. 　　②令y-x=t，得y=x+t，代入原方程，得2x2+（2t-4）x+t2+1=0. 　　令Δ≥0，得-2-6≤t≤-2+6，即-2-6≤y-x≤-2+6. 　　③令x2+y2=t，代入原方程，得t=4x-1. 　　由原方程，得x2-4x+1≤0，得2-3≤t≤2+3. 　　∴7-43≤t≤7+43，即7-43≤x2+y2≤7+43. 　　角度二三角观点——原方程即（x-2）2+y2=3，令x=2+3cosθ，y=3sinθ. 　　①y1x=2+3cosθ13sinθ=t，得3sinθ-3tcosθ=2t，即3+3t2sin（θ+φ）=2t，∴sin（θ+φ）=2t13+3t2.由正弦函数的有界性，得|2t|13+3t2≤1（以下略）. 　　②y-x=3sinθ-3cosθ-2=6sin（θ+φ）-2（以下略）. 　　③x2+y2=7+43cosθ（以下略）. 　　角度三几何观点——原方程即（x-2）2+y2=3，表示圆，设P（x，y）是圆上任一点. 　　①y1x=kOP. 　　②y-x=t表示直线y-x=t与圆有公共点时，直线在y轴上的截距. 　　③x2+y2=|OP|2. 　　例3若直线x1a+y1b=1通过点M（cosα，sinα），则（）. 　　A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1 　　C.11a2+11b2≤1D.11a2+11b2≥1 　　解法一（几何观点）依题意，得直线x1a+y1b=1与圆x2+y2=1有公共点. 　　所以1111a2+11b2≤111a2+11b2≥1. 　　解法二（三角观点）由条件，得 　　cosα1a+sinα1b=1asinα+bcosα=aba2+b2sin（α+φ）=absin（α+φ）=ab1a2+b2. 　　由正弦函数的有界性，得|ab|1a2+b2≤111a2+11b2≥1. 　　解法三（向量观点）令m=11a，11b，n=（cosα，sinα），