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复变函数与数学分析之间的相互应用 　　【摘 要】本文从两方面讨论了复变函数与数学分析之间的一些相互应用。一方面是数学分析在复变函数中的应用，主要介绍了在连续性、可微性和可积性中的应用；另一方面是复变函数在数学分析中的应用，主要介绍了利用留数计算一些实积分。 　　【关键词】复变函数 数学分析 应用 　　【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）22-0097-02 　　复变函数是数学分析的一门后续课，数学分析是在实数域上建立起来的一门学科，而复变函数是在复数域上来研究一些相关问题而产生的。虽然这两门学科研究的数域不同，但它们具有一些相同的定理和性质，在许多定义上也是相同的。从而这两门学科之间存在着密不可分的联系，其中一个重要的联系是两者之间有一定的相互应用关系。下面从两个方面谈谈复变函数与数学分析之间的一些具体相互应用。 　　一 数学分析在复变函数中的应用 　　由复变函数的定义可知，一个复变函数实际上是由两个二元实函数所确定的，即对任意在定义域内的z=x+yi，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），其中x，y，u，v都为实数。因此研究复变函数的一些性质可以通过研究这两个二元实函数来解决。下面主要介绍数学分析知识在复变函数的连续性、可微性和可积性三方面的应用。 　　1.在连续性中的应用 　　定义：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在集E上 　　确定，并且集E的聚点z0∈E，如果 ，则f（z） 　　在点z0连续。 　　由于 =f（z0）=u 　　（x0，y0）+iv（x0，y0），所以可由二元实函数u（x，y）和v（x，y）在点（x0，y0）处的连续性判断f（z）在点z0的连续性。 　　例1：判断f（z）=Rez在z=1+i点处的连续性。 　　解：令z=x+yi，则f（z）=Rez=x，即u（x，y）=x，v（x，y）=0。 　　因此有 f（1+i），所以f（z）= 　　Rez在z=1+i点处连续。 　　2.在可微性中的应用 　　在复变函数和数学分析中可微的定义是相同的，由它们的定义可得下面的定理。 　　定理1：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内确定，那么f（z）在点z=x+yi∈D可微的充要条件是：在点（x，y）处u（x，y）和v（x，y）可微，并且满足柯西 　　黎曼条件 ， 。 　　例2：判断函数f（z）=z2的可微性。 　　解：f（z）=z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi，因此有u 　　（x，y）=x2-y2，v（x，y）=2xy， ， ， 　　由u（x，y）和v（x，y）在R2平面上处处可微，并且满足柯西黎曼条件，可得函数f（z）=z2在复平面C上处处可微。 　　3.在可积性中的应用 　　由复变函数的积分定义可知： 　　dx+u 　　（x，y）dy，从而可以通过计算二元实函数的第二型曲线积分来计算复变函数的积分。 　　例3：计算积分 ，其中L为单位圆取逆时针方向。 　　解：由f（z）=Rez=x可得u（x，y）=x，v（x，y） 　　=0，因为L为单位圆取逆时针方向，所以可令 ， 　　0≤θ≤2π， 　　。 　　二 复变函数在数学分析中的应用 　　由于不是所有可积函数都可求出其原函数，因此在数学分析中要求出一些积分值是很困难的。而其中有一些积分可利用复变函数的留数知识来计算。下面介绍利用留数计算三种类型的实积分。 　　1.计算 型积分 　　在该类积分中令z=eit，则 ，sin t ，dt 　　，因此 。 　　例4：计算积分 ，其中常数a1。 　　解：令z=eit，则sin t ， ，代入积分得I= 　　。 　　2.计算 型积分 　　定理2：设 为有理函数，其中P（z）=c0zm 　　+c1zm-1+…+cm（c≠0），Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b≠0）为互质多项式，且符合条件：（1）n-m≥2；（2）在实 　　轴上Q（z）≠0，于是有 　　es（f（z）zk）。 　　例5：计算积分 。 　　解：令 ，则P（z）=1，Q（z）=（1+z2）2，满足定理2的条件，从而有 　　。 　　3.计算 型积分 　　定理3：设 为有理函数，其中P（z）、Q（z） 　　为互质多项式，且符合条件：（1）Q（z）的次数比P（z）的 　　次数高；（2）在实轴上Q（z）≠0，于是有 　　。 　　例6：计算积分 。 　　解：由eix=cosx+isinx可得cosx为eix的实部，则I为 　　dx的实部。 　　因为 ，所以 　　。 　　参考文献 　　[1]余家荣.复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010 　　[2]