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乌龟性别与温度的数学模型讲解.doc
数学建模期末作业
乌龟性别的决定因素问题
(习题10——10)
姓名:李红军
学号:2012212816
专业:数学与应用数学
年级:2012级
摘要
本文针对幼龟性别温度关系进行建立模型,在建模时建立温度与雄龟比例的模型,由于雄龟比例只可能在【0,1】之间取值,所以不能建立一般的统计回归模型,所以可以建立Logit模型。利用MATLAB统计工具箱中的命令glmfit求解。再求出各个系数估计值后用EXCEL表格进行处理算出每个温度下雄龟比例的估计值,对模型进行验证,为了提高模型的拟合效果可以在Logit模型中添加t的高次方,并用利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解,求出各个系数估计值,置信区间和模型相关系数。为了能直观的比较模型拟合效果可以利用MATLAB中的plot工具会出(t,logit)
温度 乌龟蛋个数 雄龟个数 雌龟个数 雄龟比例 27.2 10 1 9 10% 8 0 8 0% 9 1 8 11.1% 27.7 10 7 3 70% 6 4 2 66.7% 8 6 2 75% 28.3 13 13 0 100% 9 6 3 66.7% 8 7 1 87.5% 28.4 10 7 3 70% 8 5 3 62.5% 9 7 2 77.8% 29.9 11 10 1 90.9% 8 8 0 100% 9 9 0 100% 二、基本假设
假设1;幼龟性别只与温度有关
三、符号说明
符号 意义 单位 备注 t 乌龟孵化时的温度 ℃ P(x) 雄龟比例 S 乌龟蛋总数 个 X 雄龟个数 个 C 雌龟个数 个 四、问题分析
在本题由于是求温度与性别比例的模型,在数据表中每个温度都记录了三批乌龟,所以首先要对数据进行处理,利用excel算出每个温度对应下乌龟的总数,雄龟总个数,雌龟总个数和雄龟比例。
温度 乌龟蛋个数 雄龟个数 雌龟个数 雄龟比例 27.2 27 2 25 7.41% 27.7 24 17 7 70.83% 28.3 30 26 4 86.67% 28.4 27 19 8 70.37% 29.9 28 27 1 96.43% 为了使得运算更简单可以把温度进行预处理,把27.2看成0,以此类推可得
温度 乌龟蛋个数 雄龟个数 雌龟个数 雄龟比例 0 27 2 25 7.41% 0.5 24 17 7 70.83% 1.1 30 26 4 86.67% 1.2 27 19 8 70.37% 2.7 28 27 1 96.43% 为了更直观观察其回归关系,利用MATLAB绘制出散点图。
从图中可以看出回归曲线是一条近于3次样条的多项式回归曲线,其回归模型为 (1)
然而在这个问题中(1)是回归方程中P(x)的取值不一定在[0,1]中,即使P(x)取值在[0,1]中,有意在给定t是,误差项也只能取0,1两个值,显然不具有正态性,而且的方差依赖于与t,具有异方差性,这些都违反了普通回归分析的前提条件,因此,该题不能用用普通回归分析。
由于P(x)在[0,1]之间取值,可以使用Logit模型。
五、模型的建立与求解
5.1模型的建立
5.2模型的求解
Logit模型是一种广义线性模型,可利用MATLAB统计工具箱总的命令glmfit求解。
参数 参数估计值 标准差 B0 -101783 0.3739 B1 2.2110 0.4309 所以估计值为
即
所以当幼龟比例为1:1时计算出温度为27.7329度
令odd(t)为雄龟与雌龟比例,故有
当温度增加1度时odd比为
于是
由于b1=2.2110,所以温度每增加一度时雄龟与雌龟比例增加到原来的9.12484倍
5.3结果的分析及验证
对模型各个温度进行验证
温度 乌龟蛋个数 雄龟个数 雌龟个数 雄龟比例 雄龟估计值 0 27 2 25 7.41% 0.235357 0.5 24 17 7 70.83% 0.481812 1.1 30 26 4 86.67% 0.777955 1.2 27 19 8 70.37% 0.813801 2.7 28 27 1 96.43% 0.991768 5.3模型改进
从以上结果可知拟合偏差太大,不适合于做为最终结果。由于模型的右端是温度t的线性函数,可以考虑加入t的二次项后,看是否能提高模型的拟合程度。即考虑模型为
执行以下程序
[b2,dev2]=glmfit([t t.^2],[x s],binomial,logit);
b2,pval=1-chi2cdf(dev-dev2,1)
b2 =
-1.6582
3.7840
-0.
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