有限元分析入门资料2.pdfVIP

第五章 有限元素方法 §5.1 有限元素方法的基本思想 有限元素法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法。它 比传统解法具有理论完整可靠，物理意义直观明确，适应性强， 形式单纯、规范，解题效能强等优点。 从数学上来说, 有限元素方法是基于变分原理。它不象差分 法那样直接去解偏微分方程, 而是求解一个泛函取极小值的变 分问题。有限元素法是在变分原理的基础上吸收差分格式的思 想发展起来的。 采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持, 计算精度和 收敛性进一步得到保证。 有限元素法优点： - 降低实验所需成本 - 減少試验对象的变异困难 - 方便参数控制 - 可获得实验无法获得的信息 有限元素法基本概念： 元素(element)，节点(node)，连結元素 有限元素法的基本思想: • 实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更 无法順利求其解析解. • 有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许 多简单的几何形状称之为元素. • 元素与与元素间以“节点”相连. • 由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素 的物理方程式,並求得节点上的物理量. • 采用內插法求得元素內任意点的物理量. 例如：考虑一个球形金属导体静电势的问题，球形金属导体的半径 为r0 , 球外距离球中心 r处的电位为ϕ(r)。假定在这个导体外的空间中 的体电荷密度到处为零。则在此空间中的能量为 2 2 ε +∞ 2 ε +∞⎛∂ϕ⎞ 2 +∞⎛∂ϕ⎞ 2 ϕ π επ U( ) 2 ∫E dV 2 ∫⎜⎝∂r ⎠⎟4 r dr 2 ∫⎜⎝∂r ⎠⎟r dr . (5.1.1) r0 r0 r0 同时该系统的能量应当取最小值，即该系统的能量变分应当满足 +∞ ∂ ∂( ) ⎛ ∂ +∞ +∞⎧ ∂ ⎫ ⎞ ( ) 2 ϕ δϕ ⎜ 2 ϕ − ∂ ⎛ 2 ϕ⎞ ⎟ δU ϕ(r) 4επ r dr 4επ r δϕ ⎜r ⎟δϕdr 0 ∫ ∂ ∂ ⎜ ∂ ∫⎨ ⎬ ⎟ . (5.1.2) r0 r r ⎝ r r0 r0 ⎩∂r ⎝ ∂r ⎠⎭ ⎠ 这里ε为介质的相对介电常数，积分是对导体外的空间进行的。因为导 体边界上的电位为常数ϕ0 , 无穷远处的电位为零。则从公式(5.1.2)可 ( ) 以得到将能量U ϕ 取最小值的势函数ϕ必须满足特定的边界条件和如下 球坐标下径向的微分方程： 2 1 ∂ ⎛ 2 ∂ϕ⎞ ∇ϕ r 2 ∂r ⎜⎝r ∂r ⎠⎟ 0 . (5.1.3) 因此，求此微分方程解的问题，可以在数学上等价于找到一个势函数ϕ ， ( ) 使得积分U ϕ 取极小值的问题。 薛定格方程则可以写为 2 2 h ∂⎡ ∂ ˆ ⎤ ⎛ 2 ⎞ L − − ( ) ( ) ( ) 2 ⎢ ⎜r ⎟ 2 ψ r,θ,ϕ E −V ψ r,θ,ϕ⎥ . 2μr ⎣∂r ⎝ ∂r ⎠ h ⎦ 波函数ψ r,θ,ϕ( ) θ −π/ 2 ≤θ ≤π/ 2