机电控制工程基础课程辅导-3.docVIP

第3章 自动控制系统的时域分析辅导 [ 学习目标 ] 熟练掌握：一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点，并能熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法； 掌握：系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。 了解：稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件，能熟练掌握计算稳态误差的方法 式中A为常数。A等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图3-l所示。它表示为 xr(t)＝l(t)，或xr(t)=u(t) 单位阶跃函数的拉氏变换为 Xr(s)=L[1(t)]=1/s 在t＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。 斜坡函数 这种函数的定义是 式中A为常数。该函数的拉氏变换是 Xr(s)=L[At]=A/s2 这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。当A＝l时，称为单位斜坡函数，如图3-2所示。 抛物线函数 如图3-3所示，这种函数的定义是 式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是 Xr(s)=L[At2]=2A/s3 当A＝1/2时，称为单位抛物线函数，即Xr(s)=1/s3。 4. 脉冲函数 这种函数的定义是 式中A为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是 当A＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图3-4所示。单位脉冲函数的面积等于l，即 反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。 动态性能指标 系统动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。一般认为阶跃输入对系统而言是比较严峻的工作状态，若系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的输入作用下，其动态性能也应是令人满意的。 图3-5 系统的典型阶跃响应及动态性能指标 动态性能指标通常有如下几项： 延迟时间 阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间。 上升时间 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。 峰值时间 阶跃响应越过稳态值达到第一个峰值所需的时间。 调节时间 阶跃响到达并保持在终值％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的％误差带来定义调节时间。 超调量％ 峰值超出终值的百分比，即 ％％ 在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间（描述“快”），超调量％（描述“匀”）以及峰值时间，它们也是本书重点讨论的动态性能指标。 稳态性能指标 稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。 应当指出，系统性能指标的确定应根据实际情况而有所侧重。例如，民航客机要求飞行平稳，不允许有超调；歼击机则要求机动灵活，响应迅速，允许有适当的超调；对于一些启动之后便需要长期运行的生产过程（如化工过程等）则往往更强调稳态精度。 一阶系统的单位阶跃响应 因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为 取C(s)的拉氏反变换得 或写成 式中，css=1，代表稳态分量；代表暂态分量。当时间t趋于无穷，暂态分量衰减为零。显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图3-7所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所有其性能指标主要是调节时间，它表征系统过渡过程的快慢。当t＝3T或4T时，响应值与稳态值之间的误差将小于5～2%。显然系统的时间常数T越小，调节时间越小，响应曲线很快就能接近稳态值。 二阶系统的标准传递函数 图 为典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为： 式中 Kv--开环增益； ωn--无阻尼自然频率或固有频率，； ζ--阻尼比，。 二阶系统的闭环特征方程为 s2+2ζωns+ω2n=0 其特征根为 二阶系统的阶跃响应 二阶系统标准传递函数式(3-4)的动态特性取决于阻尼比ζ和固有频率ωn两个特征量，设输入为单位阶跃函数，则其响应的拉氏变换为： 式中--阻尼振荡频率， 。 下面按几种不同阻尼比ζ，分析二阶系统的瞬态响应。 1. 临界阻尼(ζ=1) 时域响应为