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* 内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表达式 重点：等距变换的解析表达式 1.4 等距变换 1.4等距变换-定义 设 a = (x1, y1, z1) ， b = (x2, y2, z2) 是 R3 中的任意两点，它们之间的距离为 如果 T: R3 → R3 是一一对应，且对任意 a、b∈ R3 有 d(a, b) = d(T(a), T(b) )，则称 T 是 R3 的等距变换，也叫合同变换、保长变换或欧氏变换． 1.4等距变换-正交矩阵 如果一个 3 阶矩阵 T 满足 TT t = E ，则 T 是一个 3 阶正交矩阵，其中 T t 表示 T 的转置矩阵，E 表示 3 阶单位矩阵．所有 3 阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群，叫三阶正交矩阵群，记为 O(3) ． 由线性代数知，对任意 3 阶矩阵 A 以及任意的向量 a、b∈ R3，有 (aA) · b = a · (bAt)，这里，aA 表示 1×3 矩阵 a 与 3×3 矩阵 A 的积， bAt 等也作同样的解释． 1.4等距变换-解析表达式 定理. 变换 T: R3 → R3 是等距变换的充要条件是存在 T∈O(3) 以及 p∈R3，使 T(r) = rT + p 对任意的 r = (x, y, z)∈R3 成立． 看证明 1.4等距变换-等距变换群 欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫等距变换群． 上面的定理说明等距变换一定是形如 rT + p 的变换，并且T∈O(3) ，因此 T 的行列式等于 ±1 ． 当 T 的行列式等于 +1 时，对应的等距变换叫刚体运动，简称运动；当 T 的行列式等于 – 1 时，对应的等距变换叫反向刚体运动． 刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫运动群． 1.4等距变换-切向量 设 P∈R3，C 是过 P 点的曲线，我们把 C 在 P 点的切向量叫 R3 在 P 点的切向量．过 P 点可以作很多曲线，因此就有很多切向量． R3 在 P 点的切向量的全体组成的集合记为 TP R3，叫做 R3 在 P 点的切空间． 注意到 R3 在 P 点的任一切向量是某条过 P 点的曲线在该点的切向量，所以对任意 v∈TP R3 有如下形式 v = r (t 0) = (x (t 0), y (t 0), z (t 0) ) ． 切向量也可以看成是 R3 的点，这样，R3 与 TP R3 就自然等同起来了． *