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利用Matlab优化工具linprog求解线性规划问题.doc
§15. 利用Matlab求解线性规划问题
线性规划是一种优化方法,Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解:
% min fx
% s.t .(约束条件): Ax=b
% (等式约束条件): Aeqx=beq
% lb=x=ub
linprog函数的调用格式如下:
x=linprog(f,A,b)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]=linprog(…)
[x, fval, exitflag]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)
其中:
x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束,则令A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界,x0为初值点,options为指定优化参数进行最小化。
Options的参数描述:Display显示水平。 选择’off’ 不显示输出;选择’Iter’显示每一 步迭代过程的输出;选择’final’ 显示最终结果。
MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数
Maxiter 最大允许迭代次数
TolX x处的终止容限
[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分:
exitflag 描述函数计算的退出条件:若为正值,表示目标函数收敛于解x处;若为负值,表示目标函数不收敛;若为零值,表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
output 返回优化信息:output.iterations表示迭代次数;output.algorithm表示所采用的算法;outprt.funcCount表示函数评价次数。
lambda 返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性:
lambda.lower-lambda的下界;
lambda.upper-lambda的上界;
lambda.ineqlin-lambda的线性不等式;
lambda.eqlin-lambda的线性等式。
下面通过具体的例子来说明:
例如:某农场I、II、III等耕地的面积分别为100 hm2、300 hm2和200 hm2,计划种植水稻、大豆和玉米,要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表5.1.4所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg,大豆1.50元/kg,玉米0.80元/kg。那么,(1)如何制订种植计划,才能使总产量最大?(2)如何制订种植计划,才能使总产值最大?
表1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg / hm2)
I等耕地 II等耕地 III等耕地 水稻 11 000 9 500 9 000 大豆 8 000 6 800 6 000 玉米 14 000 12 000 10 000 首先根据题意建立线性规划模型(决策变量设置如表2所示,表中表示第种作物在第j等级的耕地上的种植面积。):
表2 作物计划种植面积(单位:hm2)
I等耕地 II等耕地 III等耕地 水稻 大豆 玉米 约束方程如下:
耕地面积约束:
最低收获量约束:
非负约束:
(1)追求总产量最大,目标函数为:
(2)追求总产值最大,目标函数为:
根据求解函数linprog中的参数含义,列出系数矩阵,目标函数系数矩阵,以及约束条件等。
这些参数中没有的设为空。譬如,
(1)当追求总产量最大时,只要将参数
f=[-11000 –9500 –9000 –8000 –6800 –6000 –14000 –12000 -10000];
A=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1
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