第二章 波 动 方 程详解.ppt

* * * * 例2. 求解初值问题 解. 法一. 此处 由Poisson公式得 由三角函数的周期性和正交性，有 因此 法二. 由于定解问题是线性的，故可由叠加原理，令 其中 分别满足如下定解问题 由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为 因此 例4. 求解初值问题 解. 由例1，仅需计算推迟势 因此 例5. 求解二维初值问题 解. 令 则 v 满足三维波动方程的初值问题 由泊松公式(2.5)，有 球面 的方程为 即 故 将曲面积分化为 平面上的二重积分，并注意到球面 上下两半都投影于同一圆面，有 所以 考虑非齐次波动方程初值问题 二、 二维齐次波动方程的初值问题（降维法） 上述问题可看作三维问题，因此 则由泊松公式可知，定解问题 的解 其中球面 现计算球面 上的积分 其中上半球面 下半球面 它们的面积元 且 在平面 上的投影区域均为圆域 所以 同理 从而 易见，U与 z 无关。因此(3.3)式即为二维齐次波动方程初值问题(3.1)的解，即 ——二维波动方程初值问题的泊松公式 利用极坐标变换 可将上式写成 利用叠加原理和齐次化原理，可得其解为 其中圆域 利用极坐标变换并令 进一步有 3.2 特征锥与惠更斯原理 （计算该值是否为零：物理上振动位移为零表示该点不振动，不为零表示初始振动已传播到此点） 二维和三维Poisson公式中积分区域的差异导致了物理上截然不同的效果：惠更斯原理或波的弥漫 (4) 惠更斯原理与波的弥漫 特点：二维波的传播只有清晰的前阵面，但没有后阵面， 这个现象称为波的弥漫或波有后效现象。 特点：三维波的传播有清晰的前阵面和后阵面， 这一物理现象称为惠更斯（Huygens）原理或波无后效现象。 (a)先看三维情形： (b)二维情形： * * * * * * * * * * * * 例1 若初值条件为 试说明无界自由振动方程解的物理意义。 -2 2 0 1 2 解：由达朗贝尔公式有 随着时间的推移，其波形如图所示： 0 -2 -4 2 4 1 2 -2 2 4 0 1 2 -4 2 0 1 2 -2 -4 2 4 0 1 2 -2 -4 2 4 0 1 2 -2 -4 2 4 0 1 2 -2 -4 2 4 2） 依赖区间、决定区域和影响区域 看达朗贝尔公式，回答下面三个问题： 特征线， 斜率1/a 特征线 依赖区间 一点的影响区域如图 4) 初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。 初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。 一、 端点固定的情况 (1) 齐次端点条件 考虑定解问题 2.5 半无界问题（延拓法） 设此时定解问题为 则在 上，有 其中，对 有 问题是，对 x 0,如何定义 或者说，如何把 延拓到 x 0,使得u(0,t)=0 ? 由微积分知，若一个连续函数 g(x)在 上是奇函数，则必有 g(0)=0。 故要使得解 u(x,t)满足u(0,t)=0，只要 u(x,t)是 x 的奇函数即可。而由命题1知，只要 是 x 的奇函数。 为此，只需要对 关于 x 作奇延拓。 通过 的奇延拓，得到定解问题(3.13)的解 U(x,t)。问题(3.12)的解 u(x,t) 就是 U(x,t)在 上的限制，即 当 时，有 当 时，有 (2) 非齐次端点条件 考虑定解问题 例4. 求解初值问题 解. 把 关于 x 奇延拓到 得到新定解问题的解 限制在 上，得到： 当 时，有 当 时，有 §3 初值问题(高维情形) 三维波动方程的球对称解 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法 泊松公式的物理意义 1. 三维波动方程初值问题 基本思路：将三维问题转化为一维问题（球面平均法） 三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播，称为球面波。 考虑初值问题 §3 初值问题(高维情形) 则齐次方程(3.1)可化为 或者等价地写成 推导思路——球平均法 其中 另一方面，由于 故有 因此，有 更进一步， 因此, 对于非齐次波动方程的初值问题 由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式