特征值-特征向量精要.ppt

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章 矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。 特征值： 的根 为矩阵A的特征值 特征向量：满足 的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量 称为矩阵A的特征多项式 是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根 来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要 求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵， 从而求得所有特征值的近似。 7.1 幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。 幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下： 特征值： 特征向量： 幂法可以求 ，基本思想很简单。 设 线性无关，取初值 ，作迭代 设： 则有： （1）若： 则k足够大时，有 可见 几乎仅差一个常数 所以： 任意分量相除 特征向量乘以任意数，仍是特征向量 （2）若： 则k足够大时，有 所以： 所以： 这样，我们有算法： 1、给出初值，计算序列 2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数，则 3、若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则 4、若序列表现为其他，退出不管 求矩阵A的按模最大的特征值 解 取x(0)=(1,0)T ,计算x(k)=Ax(k-1), 结果如下 例 k x1(k) x2(k) x1(k)/x1(k-1) x2(k)/x2(k-1) 0 1 0 1 0.25 0.2 2 0.10250 0.083333 0.41 0.41665 3 0.042292 0.034389 0.41260 0.41267 4 0.017451 0.014190 0.41263 0.41263 可取??0.41263 ,x1?(0.017451,0.014190)T . 在幂法中，我们构造的序列 可以看出 因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0 改进－幂法的规范运算 则，易知： 所以，有： 最大分量为1 即 （1）若： 时，有 时，有 收敛 分别收敛反号的两个数 （2）若： 分别收敛到两个数，且绝对值不同。 求： 则： 这样，我们有算法： 1、给出初值，计算序列 2、若序列收敛，则 3、若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数绝对值相同，则 4、若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数绝对值不同，则 决定收敛的速度，特别 是 | ?2 / ?1 | 希望 | ?2 / ?1 | 越小越好。 不妨设 ?1 ?2 ? … ? ?n ，且 | ?2 | | ?n |。 ?1 ?2 ?n O p = ( ?2 + ?n ) / 2 思路 令 B = A ? pI ，则有 | ?I?A | = | ?I?(B+pI) | = | (??p)I?B | ? ?A ? p = ?B 。而 ，所以求B的特征根收敛快。 反幂法 所以，A和A－1的特征值互为倒数 这样，求A－1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值 为避免求逆的运算，可以解线性方程组 若知道某一特征根 ?i 的大致位置 p ，即对任意 j ? i 有| ?i ? p | | ?j ? p | ，并且如果 (A ? pI)?1存在，则可以用反幂法求(A ? pI)?1的主特征根 1/(?i ? p ) ，收敛将非常快。 思路 7.1 Jacobi方法－对称阵 P为n阶可逆阵，则A与P－1AP相似，相似阵有相同的特征值。 若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使得 直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,...,Qn对A作正交变换 使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似 认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。 1、Givens旋转变换 对称阵 为正交阵 p列 q列 记： 则： 变换的目的是为了减少非对角元的分量，则 记 则 的按模较小根 所以： 2、Jacobi迭代 取p,q使 ，则 定理： 若A对称，则 解 记 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有 例 用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特