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第四章 几何和线性代数 按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表达的。它是第二代数学模型，其根源来自欧式几何，解析几何以及线性方程理论。 本章的第一部分讨论线性代数的三个来源：欧式几何，解析几何以及线性方程组。其余部分讨论线性分析。这是代数和粉刺的非常有用的杂交品种。它是通过在代数方法中引进长度观念而得到的。无穷维线性空间中的的线性分析通常称为泛函分析。是20世纪的一项重要数学成果。我们将介绍它的一些基本概念和结果，其中包括自律线性算子和谱定理。 4.1 欧式几何（不讲） 4.2 解析几何（不讲） 4.3 线性方程组和矩阵（不讲） 4.4 线性空间 许多数学对象。例如几何向量，同型的矩阵，实函数等等，都能相加以及用数相乘，而且满足平常的的计算规则。这种对象通常称为向量。 一.定义与例子 定义1：令F是一个数域（R、Q、C）。F中的元素用小写字母a，b,c…表示。令V是一个非空集合。V中元素用小写希腊字母 来表示。我们把V中的元素叫做向量而把F中的元素叫做纯量。如果下列条件被满足，就称V是F上的一个向量空间: (1) 在V中定义了一个加法，对于V中任意的两个向量 有V中一个唯一确定的向量与之对应，这个向量叫做 （2）有一个“纯量乘法”对于F中每一个数 和V中每一个向量 有V中唯一确定的向量与它们对应。这个向量叫做 （3）向量的加法与纯量乘法满足下列算律： 1） 2） 3）在V中存在一个零向量，记作0。对于V中每一个向量 4)对于V中每一向量 ，在V中存在一个向量 ，称为的负向量，使得 5） 6） 7） 8） 则称V为关于所给（+，x)的F上的线性空间。 定义2：由一个线性空间V到另一个线性空间的函数F称为线性的，如果对于V中所有向量 和数 均有 定义3：线性空间V的子集U称为线性子空间，如果对于 当U是由V有限个固定向量的所有线性组合构成时，我们就说U是有限生成的，这些向量称为生成元。记为 二.像与校定理 三.不变子空间，特征向量，特征值，谱 很显然，所有的 特征向量构成一个线性空间，称它为特征子空间其维数称为 的重数。 由代数学基本定理即知，对于有限维空间，F至少存在一个特征值。 定义3.如果U的维数是有限的，那么F的他政治所成的集合称为F的谱。 四.补空间，余维 4.5 赋范线性空间