第一章线性空间和线性映射精要.ppt

第一章 线性空间和线性映射 本章知识要点 线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； 线性空间的分解：子空间、值域(列空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和； 线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形; 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。 Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。 集合 集合 元素、子集、集合相等、运算（交、并、补） 例：数域是一个集合含有加法+和乘法* 含有元素0，满足对任何元素a，有 a+0=a； 含有1，满足对任何元素a，有 a*1=a； 任何元素 a 存在负元素 b，满足a+b=0； 非零元素a存在逆元素b，满足a*b=1； 对加法和乘法封闭 常用数域有：有理数域、实数域、复数域 映射 映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则) f : S → S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为：f(a)=a’ 或 a→a’。一般称a’为a的象，a为a’的原象。 变换：若S=S‘，则称映射为变换。 映射的相等：设有两个映射f : S → S’和 g: S → S’，若第任何元素a∈S都有 f(a)=g(a)则称f与g相等。 映射的乘积(复合)：若 f : S1 → S2 和 g: S 2→ S3，则映射的乘积 g○ f 定义为： g○ f(a)=g(f(a))。 在不至混淆的情况下，简记 g○ f 为 gf 映射的例子 例子1：设集合S是数域F上所有方阵的集合，则 f(A)=det(A) 为S到F的映射。 例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算： δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换： 为S到S上的一个变换。 线性空间的定义 定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是数乘运算, 用 ? 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律： （1）加法交换律：α+β= β + α （2）加法结合律： (α+β)+ γ= α+(β+γ) （3）零元素：在 V 中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V 都有 α+ 0 =α （4）对于V中的任意元素α都存在一个元素 β使得：α+β= 0 线性空间的定义（续） （5）数1：对α∈V，有： 1?α=α （6）对k,l∈F,α∈V 有： (kl) ?α= k ? (l ?α) （7）对k,l∈F,α∈V 有： (k+l) ?α= k ? α+l ?α （8）对k∈F,α, β∈V 有： k ?(α+β)= k ? α+k ?β 称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。 线性空间的例子 例1：全体实函数集合 RR构成实数域 R 上的线性空间。 例2：复数域 C上的全体 m×n 阶 矩阵构成的集合Cm×n 为 C 上的线性空间。 例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 R[x]n 构成实数域 R 上的线性空间。 例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意 k∈R, a,b∈R+ 线性空间的基本概念及其性质 基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。 基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。 线性空间的基底与维数 定义：设 V 为数域 F上的一个线性空间。如果在 V 中存在 n 个线性无关的向量 ，使得 V 中的任意一个向量 都可以由 线性表出: 则称 为 V 的一个基底； 为向量 在基底 下