第七章 矩阵特征值与特征向量计算精要.ppt

计算结果如下表： 先考察平面上正交变换： ，其中 即 （当 时，可选取 ）从而可使 69/32 23/8 21/16 7/4 7/8 7/6 ? 1/3 0 3 75/32 7/4 21/16 1 5/8 ? ? 0 67/32 19/16 19/16 5/8 5/8 ? 1/4 1 1 由于 的平均值之倒数为 而A的按模最小特征值精确值为 可见已获得了较好的特征值。 于是求实对称阵A的特征向量问题就等于寻找正交矩阵P使 为对角阵，其主要困难在于寻找正交阵。 Jacobi方法是用来求实对称矩阵的全部特征值及对应特征向量的一种变换方法。其基本思想是：通过一组平面旋转变换（正交相似变换）将对称阵A化为对角阵，得其全部特征值。 由代数理论： 为对称矩阵，则存在一正交阵P，使 且D的对角元 就是A的特征值。 的列向量 就是A的对应于 的特征向量。 为平面旋转矩阵。则 ，其中： 先看2阶对称阵 能否找到对称阵P使A经过正交相似 变换化为对角阵？ 将上面方法推广，首先在 Rn 中引进平面旋转变换： * * 物理，力学和工程技术中很多问题在数学上归结为求矩阵特征值向量。即下面的数学问题： 1.已知： 求代数方程 的根。 称为A的特征多项式。上式展开即为: 的n个解称为A的特征值。 2.设 为A的特征值，要求相应的齐次方程组 的非零解。即求 的非零解。 此非零解x称为矩阵A的对应于 的特征向量。 回顾几个基本代数结论: 定理1 若 为A的特征值，则有: 1 2 定理3. Gerschgorin’s定理 设 则A的每一个特征值，必 属于下述某个圆盘之中: 且如果一个特征向量的第i个分量最大,则对应的特征值一定属 于第i个圆盘中. 定义1:设A为n阶实对称矩阵，对于任一非零向量x称 为对应于向量x的Rayleigh商. 1 A与B有相同的特征值； 2 若x为B 的一个特征向量，则Tx为A的特征向量。 定理2.设A与B为相似矩阵 即存在T， ， ，则: 关于矩阵A的特征值计算问题，当n 2,3时，可以按行列式展开的方法求 的根。但当n较大时，再按行列式展开法先求 的系数，再求 的根，工作量是非常大的，在实际应用中这种方法是不切实际的。 1 2 3 定理4.设 为对称阵，特征值 ,对应的 特征向量 ,组成规范化正交组，即: 则: 在一些工程实际问题中，通常只要求出矩阵按模最大的特征值 称之为A的主要特征值 和相应的特征向量，对于这种特征值问题应用幂法是较合适的。 幂法是一种计算实矩阵 A 的主特征值的迭代法，最大优点是方法简单，对稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。 设实矩阵 有一个完全的特征向量组,其特征值 为 ， 相应的特征向量为 已知A的主特征值是实数,且满足: 幂法的基本思想是：任取一个初始向量 , 由矩阵A构造一向量序列（称之为迭代向量序列。） : 2 这表明： 越来越接近A的对应于 的特征向量 （数量 不计）或者k充分大时， 即迭代向量 为 的特征向量的近似向量 除一个因子外 。 而由假设, 可表示为特征向量 的线性组合： 下面考查主特征值 的计算。用 表示 的第 个分量, 则： 这表明：相邻两次迭代向量的对应分量的比值收敛到主特征值。 这种利用已知非零向量 及矩阵A的乘幂 构造向量序列 以计算A的主特征值 （由 7 式）及相应的特征向量（利用 5 式）的方法称为幂法。 由 6 及 表达式可见： 的收敛速度由比值 来确定，r 越小收敛越快。而 时收敛可能很慢。将上述讨论总结一下有结论: 定理5： 有n个线性无关特征向量。主特征值 满足 ,则对任何非零初始向量v ,有 4 、 7 成立。 若A的主特征值为实的重根，即 ，且 又设A有n个线性无关的特征向量, 对应r个线性无关特征向量为： 从而 设 这表明：当A的主特征值为实的重根时，上一定理结论仍正确。 利用幂法计算A的主特征值 及对应的特征向量时,如果 或 ，迭代向量 的各个不等于零的分量将随 而趋向于无穷 或趋于零 ，这在计算机上计算时可能产生“溢出”。 为克服这个缺点，我们将迭代向量规范化。 设 ，其规范化向量为 ，其中max v 表示向量v的绝对值最大的分量。 在定理5的条件下幂法可这样进行：任取一初始向量 构造向量序列：（ 为向量） … … （下面 为向量。） 由 3 式: 这表明：规范化向量序列收敛到主特征值对应的特征向量。 同理可证: 则 收敛速度取决于比值 9 有: . 定理6: 有n个线性无关的特征向量，主特征值 满足： , 则对任意非零初始向量： , 按下述方式构造向量序列： 总结以上讨论有下面结论： 解： 取初始向量 ,按 9 迭代5次得到数据如下 表: k 规范