第三章傅里叶变换(一)精要.ppt

§3.1 引言 频域分析 发展历史 主要内容 说明 幅频特性和相频特性 (1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 2．奇函数 七．傅里叶有限级数与最小方均误差 §3.3 典型周期信号的傅里叶级数 一．频谱结构 三角函数形式的谱系数 指数函数形式的谱系数 频谱特点 X 第 * 页 宁波大学科技学院理工分院 2008.2 X 第 * 页 第 * 页 宁波大学科技学院理工分院 2008.2 第三章 傅里叶变换 　　从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 　　频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。 三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率 傅里叶有限级数与最小方均误差 §3.2 周期信号傅里叶级数分析 一．三角函数形式的傅里叶级数 是一个完备的正交函数集 t在一个周期内，n=0,1,...? 由积分可知 1.三角函数集 在满足狄氏条件时，可展成 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度 称为三角形式的傅里叶级数，其系数 2．级数形式 其他形式 余弦形式 正弦形式 例3-2-1 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 直流 基波 谐波 关系曲线称为幅度频谱图； 关系曲线称为相位频谱图。 可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 幅度频率特性和相位频率特性 二．指数函数形式的傅里叶级数 1．复指数正交函数集 2．级数形式 3．系数 利用复变函数的正交特性 三．两种系数之间的关系及频谱图 利用欧拉公式 相频特性 幅频特性 频谱图 幅度频谱 相位频谱 离散谱，谱线 四．总结 （1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （2）两种频谱图的关系 （4）引入负频率 三角形式 指数形式 (2)两种频谱图的关系 单边频谱 双边频谱 关系 ● ● ● (3)三个性质 (4)引入负频率 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性 五．函数的对称性与傅里叶级数的关系 偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数 注：指交流分量 1．偶函数 信号波形相对于纵轴是对称的 3．奇谐函数 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化： 4．偶谐函数 f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量 六．周期信号的功率 这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明： 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。 误差函数 方均误差 本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 其他信号，如周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号请自学。 §3.3 典型周期信号的傅里叶级数