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多元回归模型与回归方程 多元线性回归模型的基本假设 在多元回归中除了要求一元回归中的基本假设条件外，还需要假设自变量之间不存在完全的多重共线性，否则无法估计回归模型。 完全的多重共线性：一个自变量可以表示为其他自变量和常数项的线性函数，例如x1 = 2x2 +x3 +5。 多元线性回归方程的参数估计 利用与一元回归类似的最小二乘法可以得到总体参数的估计量和估计值。虽然计算过程要复杂一些，但用计算机很容易得到计算结果。 在多元回归中对回归系数的解释有所不同。 例如变量x1的回归系数应解释为：当x2 ， x3，…， xp不变时， x1每变动一个单位因变量y的平均变动量。 例题7.3 建立城镇居民消费模型，要求以人均年消费性支出（变量Y）为因变量，以人均年可支配收入（变量X）和家庭恩格尔系数（变量Z）为自变量，建立二元线性回归模型。 用SPSS进行二元线性回归 用SPSS进行二元线性回归的具体步骤，与上一节介绍的估计一元线性回归模型非常相似：前3步完全相同，只是在第4步，在弹出的“Linear Regression”对话框中，将Y变量选入“Dependent”栏后，需要将变量X和变量Z同时选入“Independent(s)”栏，最后点击“确定”。 SPSS回归结果 结果分析 二元线性回归方程为： 变量X的回归系数为0.602，其统计含义：在居民家庭恩格尔系数不变的条件下，居民可支配收入每上升1个单位（千元），居民消费“平均”上升0.602个单位（千元）；变量Z的回归系数为0.097，说明在居民可支配收入不变的条件下，居民恩格尔系数每降低1个单位（即降低1%），居民消费水平就会“平均”上升0.097个单位（千元）。 多元回归模型 (multiple regression model) 一个因变量与两个及两个以上自变量的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 ? 的方程，称为多元回归模型 涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为 多元回归模型(基本假定) 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(?)=0 对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，?的方差? 2都相同 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,?2)，且相互独立 多元回归方程 (multiple regression equation) 描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量 x1， x2 ，…，xk的方程 多元线性回归方程的形式为 E( y ) = ?0+ ?1 x1 + ?2 x2 +…+ ?k xk 二元回归方程的直观解释 估计的多元回归方程 估计的多元回的方程(estimated multiple regression equation) 用样本统计量 估计回归方程中的 参数 时得到的方程 由最小二乘法求得 一般形式为 参数的最小二乘估计 参数的最小二乘法 修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination) 用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 避免增加自变量而高估 R2 意义与 R2类似 数值小于R2 回归系数的检验 线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第Ⅰ类错误(弃真错误) 对每一个自变量都要单独进行检验 应用 t 检验统计量 多重共线性及其产生的问题 多重共线性(multicollinearity) 回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关 多重共线性带来的问题有 可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分析引入歧途 可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是各回归系数的正负号有可能同预期的正负号相反 多重共线性的识别 例如：在以下回归模型中，存在完全多重共线性： 因变量：消费 自变量：第一产业增加值；第二产业增加 值；第三产业增加值；GDP。 在以下回归模型中，应该会有高度的多重共线性： 因变量：消费； 自变量：收入、 财富。 多重共线性的识别 检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检验 若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用的自变量之间相关，存在着多重共线性 如果出现下列情况，暗示存在多重共线性 模型中各对自变量之间显著相关 当模型的线性关系检验(F检验)显著时，几乎所有回归系数的t检验却不显著 回归系数的正负号与预期的相反 多重共线性(例题分析) 【例】判别各自