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直线相关与回归 变量间相互关系的密切程度和相关方向的分析称为相关分析；变量间数量上的依存关系的分析称为回归分析（即用回归方程表达变量间的数量关系的分析）。直线相关与回归分别是相关和回归分析中最简单的一种，故也称为简单相关与回归。他是研究两个变量间的相关关系与依存关系的统计方法。 第一节 直线相关 一、直线相关的概念 直线相关（linear correlation）是分析两个变量间是否存在线性相关关系的方法。适用于X与Y服从双变量正态分布的资料，双变量正态分布是指对每个确定的X，Y服从正态分布，且对每个确定的Y，X服从正态分布。直线相关的性质，可以用散点图说明。 例1．10名20岁男青年身高与前臂长测量数据如下： 作散点图观察X与Y之间的关系 。 根据散点图可以粗略的看出两个变量间相关的密切程度和相关方向。可分为以下几种情形： 正相关关系 二、相关系数的意义和计算 1．相关系数的意义 相关系数（correlation coefficient）是描述两个变量间相关关系的密切程度与相关方向的指标。总体相关系数用ρ 表示，样本相关系数用r 表示。? 样本相关系数的计算公式为： 2．相关系数的计算 2) 计算ΣX，ΣY，ΣX2，ΣY2，ΣXY。 三、相关系数的假设检验 前例所得相关系数r = 0.8227，是样本相关系数，由于存在抽样误差，要判断总体X、Y间是否有相关关系，就要对样本相关系数进行检验。相关系数的假设检验有两种方法： 1． t 检验： 以上例所得 r 值，检验20岁男青年身高与前臂长之间是否存在直线相关关系。 设 H0：两变量间无直线相关关系，ρ=0 H1：两变量间有直线相关关系，ρ≠0 α=0.05 第二节 直线回归 一、直线回归（linear regression）的概念 两个变量间的数量关系通常有两种，一种是确定性的关系，如圆周长与圆半径之间的关系，称为函数关系；另一种为非确定性的关系，如前述儿童年龄与体重之间的关系，只能估计出某一年龄儿童的平均体重大约是多少，这种关系即为回归关系。 描述两变量间的回归关系仍是用直线方程，为了区别于一般函数方程，我们将它称为直线回归方程（linear regression equation） 。直线回归方程的一般表达式为 式中 是由自变量 X 推算应变量 Y 的估计值，a、b 是决定直线的两个系数。a 为回归直线在 Y 轴上的截距（intercept），即 X = 0时的 Y 值。a 0表示直线与 Y 轴的交点在原点的上方；a 0，则交点在原点的下方；a = 0，则回归线通过原点。b 为样本回归系数（regression coefficient），即直线的斜率。b 0，表示直线从左下方走向右上方，即 Y 随 X 增大而增大；b 0，表示直线从左上方走向右下方，即 Y 随 X 增大而减小；b = 0，表示直线与 X 轴平行，即 X 与 Y 无直线关系。b 的统计学意义是 X 每变动一个单位，Y 平均变动 b 个单位。 二、直线回归方程的求法 根据数学上的最小二乘法原理，即使直线能满足各实测点至直线的纵向距离的平方和为最小，求解常数项a和回归系数b，其计算公式如下： 例2． 某地一年级12名女大学生的体重与肺活量数据如下，求两变量间的直线回归方程。 （2）求 、 、 、 、及 三、直线回归方程的图示 在自变量X的实测全距范围内任取相距较远且易读取的两X值，代入上式。 四、回归系数的假设检验 求得的回归方程是否成立，即X、Y是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。 我们知道即使X、Y的总体回归系数β为零，由于抽样误差，其样本回归系数b也不一定为零。因此需做β是否为零的假设检验，可用方差分析或t检验。 在讲述假设检验之前，先对应变量Y的离均差平方和作一分析。 （1）l yy的分析。 如图 ，P点的纵坐标被回归直线与均数截成三个线段： 上述三个线段的代数和为： 这里的P点是在散点图中任取的一点，若将全部点子都按上法处理，并将等式两端平方后再求和，则有： 上述三个平方和，各有其相应的自由度υ，并有如下的关系： υ总=υ回 + υ剩 υ总 = n - 1 ，υ回 = 1，υ剩 = n –2 式中n为样本例数。 （2）方差分析与t检验的基本思想。 方差分析的基本思想是：将SS总分解为SS回与SS剩两部分，然后按下式计算检验统